أعداد ستيرلنغ من النوع الأول (جدول)

أدخل الحساب

n (دليل الصف) عدد صحيح غير سالب (من 0 إلى 25). تُرجع الأداة أعداد ستيرلنغ الإشارية من النوع الأول s(n,k) لكل k من 0 إلى n.

نتائج

Signed Stirling numbers of the first kind, row n = 5

s(5, k) for k = 0 ... 5

الاصطلاح الإشاري: s(n,k) = (-1)^(n-k) c(n,k)

k	s(n, k)
0	٠
1	٢٤
2	؜-٥٠
3	٣٥
4	؜-١٠
5	١
المجموع الإشاري	٠
مجموع القيم المطلقة (= n!)	١٢٠

ماذا تفعل هذه الحاسبة

تحسب هذه الأداة الصف الكامل من أعداد ستيرلنغ الإشارية من النوع الأول، والتي تُكتب على الصورة \(s(n,k)\)، لأي عدد صحيح غير سالب \(n\) تُدخله. تعرض كل القيم عند \(k = 0، 1، 2، ...، n\) في جدول، إضافة إلى المجموع الإشاري للصف ومجموع القيم المطلقة. نستخدم هنا الاصطلاح الإشاري: أي أن \(s(n,k)\) قد تكون موجبة أو سالبة. أما الأعداد غير الإشارية (أو «عدد الدورات») \(c(n,k) = |s(n,k)|\) فهي تعدّ تباديل \(n\) من العناصر التي تحتوي على \(k\) من الدورات المنفصلة تمامًا، وترتبط بالعلاقة \(s(n,k) = (-1)^{n-k} c(n,k)\).

الصيغة الرياضية

أعداد ستيرلنغ الإشارية من النوع الأول هي المعاملات في نشر العاملي الهابط \((x)_n = x(x-1)(x-2)\dots(x-n+1) = \sum_k s(n,k)\, x^k\) على جميع قيم \(k\). وتحقق هذه الأعداد علاقة التكرار

$$s(n,k) = s(n-1,\,k-1) - (n-1)\,s(n-1,\,k)$$

مع الحالات الأساسية \(s(0,0) = 1\)، و \(s(n,0) = 0\) عندما \(n \geq 1\)، و \(s(n,k) = 0\) عندما \(k < 0\) أو \(k > n\). ولاحظ أن \(s(n,n) = 1\) دائمًا.

تبني العلاقة التكرارية كل عنصر من خليتين في الصف الأعلى: \(s(n-1,k-1)\) و \(s(n-1,k)\).

طريقة الاستخدام

أدخل عددًا صحيحًا \(n\) بين 0 و25 ثم اضغط للحساب. تبني الحاسبة الصفوف بالبرمجة الديناميكية ابتداءً من [1] عند \(n = 0\)، ثم تقرأ الصف الأخير. استعمل المجموع الإشاري (الذي يساوي 0 عند \(n \geq 2\)) ومجموع القيم المطلقة (الذي يساوي \(n!\)) كاختبارَين سريعَين للتأكد من صحة النتائج.

اعلان

مثال محلول (n = 5)

نبني الصفوف على التوالي: عند \(n=1\) نحصل على [0, 1]؛ وعند \(n=2\) على [0, -1, 1]؛ وعند \(n=3\) على [0, 2, -3, 1]؛ وعند \(n=4\) على [0, -6, 11, -6, 1]؛ وأخيرًا عند \(n=5\) على [0, 24, -50, 35, -10, 1]. للتحقق: $$|0|+|24|+|50|+|35|+|10|+|1| = 120 = 5!$$ والمجموع الإشاري $$0+24-50+35-10+1 = 0$$

الصف \(n = 5\): القيم 0، 24، -50، 35، -10، 1 بإشارات متناوبة عبر \(k = 0..5\).

الأسئلة الشائعة

إشارية أم غير إشارية؟ تُرجع هذه الأداة القيم الإشارية. وللحصول على عدد الدورات غير الإشاري \(c(n,k)\)، خذ القيم المطلقة.

لماذا يساوي المجموع الإشاري صفرًا؟ عند تعويض \(x = 1\) في العاملي الهابط نحصل على \((1)_n = 0\) عندما \(n \geq 2\)، وهو يساوي مجموع صف \(s(n,k)\).

لماذا حُدّدت القيمة القصوى لـ n؟ تنمو القيم نموًّا عامليًّا، فتصبح مقاديرها كبيرة جدًّا بسرعة؛ لذلك جُعل الحد الأقصى لـ \(n\) عند 25 حفاظًا على وضوح الجدول وموثوقية الحساب.