ما هي كثيرة حدود تشيبيشيف من النوع الأول؟
كثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الأول، ويُرمز لها بـ \(T_n(x)\)، هي عائلة من كثيرات الحدود المتعامدة التي تظهر في مجالات واسعة مثل التحليل العددي ونظرية التقريب ومعالجة الإشارات وتصميم المرشحات الرقمية. تبني هذه الحاسبة جدولاً لقيم \(T_n(x)\) على مجال تختاره من قيم x، مع منحنى اختياري، انطلاقاً من درجة n وقيمة بداية لـ x وحجم خطوة وعدد من الصفوف. وهي أداة رياضية بحتة تنطبق عالمياً ولا تخضع لأي قواعد خاصة بمنطقة أو بلد بعينه.
طريقة الاستخدام
أدخل الدرجة n (عدد صحيح غير سالب مثل 0 و1 و2 و3...). حدّد قيمة البداية لـ x (المجال المعياري هو من -1 إلى 1، رغم أن العلاقة التراجعية تعمل مع أي قيمة حقيقية لـ x). اختر مقدار الزيادة (الخطوة) المضاف إلى x في كل صف، وعدد التكرارات (الصفوف) المطلوب توليدها. يبدأ الإعداد الافتراضي بـ initialX = -1 وstep = 0.02 وrows = 101، فينتقل بقيمة x من -1.00 إلى +1.00 شاملاً الطرفين.
الصيغة الرياضية
الطريقة المعتمدة هنا والأكثر استقراراً هي العلاقة التراجعية ذات الحدود الثلاثة:
\(T_0(x) = 1\)، و\(T_1(x) = x\)، و$$T_k(x) = 2x \cdot T_{k-1}(x) - T_{k-2}(x)$$ من أجل \(k \ge 2\).
وبشكل مكافئ، على المجال \(-1 \le x \le 1\) يمكن كتابتها بالصيغة المثلثية $$T_n(x) = \cos(n \cdot \arccos x).$$ وأولى كثيرات الحدود الصريحة هي \(T_2(x) = 2x^2 - 1\) و\(T_3(x) = 4x^3 - 3x\) و\(T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1\). على المجال \([-1, 1]\) تحقّق القيم دائماً \(|T_n(x)| \le 1\)، أما خارج هذا النطاق فإن المقدار يتزايد بسرعة.
مثال محلول
عند n = 3 تكون كثيرة الحدود \(T_3(x) = 4x^3 - 3x\). عند x = -1: \(4(-1) - 3(-1) = -1\). عند x = -0.5: \(4(-0.125) + 1.5 = 1\). عند x = 0: 0. عند x = 0.5: \(0.5 - 1.5 = -1\). عند x = 1: \(4 - 3 = 1\). وبذلك يعطي جدول بقيم initialX = -1 وstep = 0.5 وrows = 5 المتتالية -1، 1، 0، -1، 1.
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تكون n مساوية للصفر؟ نعم. \(T_0(x) = 1\) لكل قيمة من x، لذا يُظهر كل صف القيمة 1.
هل يمكن أن تخرج x عن المجال \([-1, 1]\)؟ نعم — تظل العلاقة التراجعية تحسب قيماً صحيحة (وقد تكون كبيرة)؛ والصيغة المثلثية وحدها هي المقيّدة بشرط \(|x| \le 1\).
ماذا لو كانت الخطوة صفراً؟ سيتكرر في كل صف نفس قيمة x، وهذا مسموح به لكنه ينتج جدولاً ثابتاً.
