ما هي حاسبة جدول كثيرات حدود لاغير؟
تقوم هذه الأداة بجدولة ورسم كثير حدود لاغير \(L_n(x)\) عبر سلسلة من قيم x. كثيرات حدود لاغير هي حلول كثيرات الحدود المتعامدة للمعادلة التفاضلية \(x\cdot y'' + (1 - x)\cdot y' + n\cdot y = 0\)، وتظهر في مجالات عديدة مثل ميكانيكا الكم (الجزء القُطري لذرة الهيدروجين)، والتكامل العددي (تربيع غاوس-لاغير)، ومعالجة الإشارات. تعتمد هذه الحاسبة المعايرة القياسية حيث \(L_n(0) = 1\).
كيفية الاستخدام
أدخل أربعة أرقام: الرتبة n (عدد صحيح غير سالب)، والقيمة الابتدائية لـ x، ومقدار الزيادة (الخطوة) بين قيم x المتتالية، وعدد الصفوف. تولّد الحاسبة القيم \(x = \text{startX}\)، و\(\text{startX} + \text{stepX}\)، و\(\text{startX} + 2\cdot\text{stepX}\)، … وتحسب \(L_n(x)\) عند كل منها، لتعيد جدولاً من عمودين ورسماً بيانياً خطياً.
شرح الصيغة
بدلاً من نشر كثير الحدود، تستخدم الحاسبة العلاقة التكرارية الثلاثية الحدود المستقرة عددياً: \(L_0(x) = 1\)، و\(L_1(x) = 1 - x\)، ومن أجل \(k \ge 1\) فإن $$L_{k+1}(x) = \frac{(2k + 1 - x)\cdot L_k(x) - k\cdot L_{k-1}(x)}{k + 1}.$$ يتطلب هذا حساباً بمقدار \(O(n)\) لكل نقطة فقط. وأوائل كثيرات الحدود هي \(L_2(x) = 1 - 2x + x^2/2\) و\(L_3(x) = 1 - 3x + 1.5x^2 - x^3/6\).
مثال محلول
من أجل \(n = 3\) و \(x = -1\): $$L_3(-1) = 1 + 3 + 1.5 + 0.16667 = 5.66667.$$ وبالتحقق عبر العلاقة التكرارية: \(L_0 = 1\)، و\(L_1 = 2\)، و\(L_2 = 3.5\)، و\(L_3 = \frac{6\cdot 3.5 - 2\cdot 2}{3} = \frac{17}{3} = 5.66667\). وعند \(x = 0\) يكون \(L_3(0) = 1\)؛ وعند \(x = 1\) يكون \(L_3(1) = -0.66667\).
الأسئلة الشائعة
ما المعايرة المستخدمة؟ الصيغة القياسية حيث \(L_n(0) = 1\)، وليست الصيغة غير المعايَرة \(n!\cdot L_n(x)\) التي تظهر في بعض المراجع.
ماذا لو كان n = 0؟ يكون \(L_0(x) = 1\) في كل مكان، أي خط أفقي مستقيم. ومن أجل \(n = 1\) تحصل على الخط المستقيم \(1 - x\).
ما أقصى قيمة ممكنة لـ n؟ العلاقة التكرارية مستقرة لقيم n المعتدلة. أما عند قيم n الكبيرة جداً أو قيم \(|x|\) الكبيرة فإن القيم تنمو بسرعة وقد يحدث طفح في الفاصلة العائمة في النهاية.
