ما هو المُميِّز؟
المُميِّز (Discriminant) هو الجزء الواقع تحت علامة الجذر التربيعي في قانون حلّ المعادلة التربيعية. فلأي معادلة من الدرجة الثانية تُكتب على الصورة \(ax^{2} + bx + c = 0\)، يُعرَّف المُميِّز بالعلاقة \(\Delta = b^{2} - 4ac\). وقيمته تخبرك — من دون أن تحلّ المعادلة — بعدد الحلول (الجذور) الحقيقية للمعادلة، وما إذا كانت جذوراً حقيقية أم عقدية (مركّبة).
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل المعاملات الثلاثة للمعادلة التربيعية: a (معامل x²)، وb (معامل x)، وc (الحدّ الثابت). ثم اضغط على «احسب»، فتُظهر لك الأداة قيمة Δ مع عدد الجذور الحقيقية. انتبه إلى أنّ a يجب ألّا تساوي صفراً، وإلّا تحوّلت المعادلة إلى معادلة خطّية (من الدرجة الأولى) لا تربيعية.
شرح القانون
$$\Delta = b^{2} - 4ac$$ وإشارة Δ هي التي تُصنِّف الجذور على النحو التالي:
- \(\Delta > 0\) — جذران حقيقيان مختلفان.
- \(\Delta = 0\) — جذر حقيقي واحد مكرَّر تماماً.
- \(\Delta < 0\) — لا توجد جذور حقيقية؛ والجذران عقديان مترافقان.
مثال محلول
لنأخذ المعادلة \(x^{2} - 3x + 2 = 0\)، حيث \(a = 1\)، و\(b = -3\)، و\(c = 2\). عندئذٍ يكون $$\Delta = (-3)^{2} - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$$ وبما أنّ \(\Delta = 1 > 0\)، فإنّ للمعادلة جذرين حقيقيين مختلفين (وهما في هذه الحالة \(x = 1\) و\(x = 2\)).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت a = 0؟ عندئذٍ لا تعود المعادلة تربيعية بل تصبح خطّية، ولا ينطبق عليها مفهوم المُميِّز.
هل يمكن أن يكون المُميِّز سالباً؟ نعم. فالمُميِّز السالب يعني عدم وجود جذور حقيقية، وتكون الحلول أعداداً عقدية (مركّبة).
ماذا يعني أن يكون المُميِّز صفراً؟ يعني أنّ القطع المكافئ يلامس محور السينات في نقطة واحدة فقط، فيكون هناك جذر حقيقي واحد مكرَّر.
