判別式計算器

輸入計算

係數 a

係數 b

係數 c

結果

判別式（Δ = b² − 4ac）

1

Two distinct real roots

實數根的個數	2

什麼是判別式？

判別式就是一元二次方程式求根公式中根號底下的那一部分。對於寫成 ax² + bx + c = 0 的任何一元二次方程式，判別式定義為 \(\Delta = b^{2} - 4ac\)。不必真的把方程式解出來，光看判別式的數值，就能知道這個二次方程式有幾個實數解（根），以及這些根究竟是實數還是複數。

判別式的符號決定了拋物線與x軸相交的次數。

計算器使用說明

輸入一元二次方程式的三個係數：a（x² 項的係數）、b（x 項的係數）以及 c（常數項）。按下計算，工具就會回傳 Δ 的數值，並告訴你方程式有幾個實數根。請特別留意，a 不可以等於 0——否則該方程式就變成一次方程式，而不再是二次方程式了。

公式解析

判別式的正負號決定了根的性質：

$$\Delta = b^{2} - 4ac$$

• Δ > 0——有兩個相異的實數根。
• Δ = 0——恰好有一個重根（重複的實數根）。
• Δ < 0——沒有實數根；兩個根為互為共軛的複數。

判別式是求根公式中根號下的表達式 \(b^{2} - 4ac\)。

範例演算

以方程式 \(x^{2} - 3x + 2 = 0\) 為例，可知 a = 1、b = −3、c = 2。代入後 $$\Delta = (-3)^{2} - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1$$ 由於 \(\Delta = 1 > 0\)，這個方程式有兩個相異的實數根（也就是 x = 1 與 x = 2）。

常見問題

如果 a = 0 會怎樣？這時方程式不再是二次方程式，而是一次方程式，判別式的概念便不適用。

判別式可以是負數嗎？可以。判別式為負，代表方程式沒有實數根——它的解是複數。

判別式等於 0 代表什麼？代表這條拋物線恰好與 x 軸相切於一點，因此只有一個重複的實數根。