兩直線交點與夾角計算機

輸入計算

Line 1: y = a1·x + b1 — slope a1

截距 b1

Line 2: y = a2·x + b2 — slope a2

截距 b2

夾角單位 Degrees Radians

結果

交點 P(x_p, y_p)

(-0.5, 3)

Lines intersect at a single point.

交點 x_p	-0.5
交點 y_p	3
Crossing angle θ	53.1301 degrees

這個計算機能做什麼

只要輸入兩條以斜截式表示的直線——\(y = a_1 \cdot x + b_1\) 與 \(y = a_2 \cdot x + b_2\)，本工具就能算出它們的交點 \(P(x_p, y_p)\)，以及兩線相交時的銳角 \(\theta\)。這是一個純數學的幾何工具，適用於任何座標平面，與國家或單位制度無關。

兩條直線相交於唯一的交點 P，以銳角 θ 相交。

使用方法

分別輸入兩條直線的斜率與 y 軸截距，再選擇夾角要以「度」（預設）或「弧度」顯示，接著就能從結果區讀出交點座標與夾角。若兩線平行，工具會提示「無交點」；若兩線完全相同，則會顯示「兩線重合」。

公式說明

兩條直線在 y 值相等的位置相交，也就是 \(a_1 \cdot x + b_1 = a_2 \cdot x + b_2\)。解出 \(x\) 可得 $$x_p = \frac{b_2 - b_1}{a_1 - a_2}$$，再代回任一方程式即得 $$y_p = a_1 \cdot x_p + b_1$$。兩線的夾角則由正切差角公式求得：$$\theta = \left| \arctan\!\left( \frac{a_2 - a_1}{1 + a_1 \cdot a_2} \right) \right|$$取絕對值是為了確保得到的是銳角（0° 到 90°）。當 \(1 + a_1 \cdot a_2 = 0\) 時，兩線互相垂直，\(\theta\) 恰好為 90°（\(\pi/2\) 弧度）。

特殊情況：平行線永不相交，重合的直線互相重疊，垂直的直線以 90 度相交。

範例演算

假設 \(a_1 = 2\)、\(b_1 = 4\)、\(a_2 = -2\)、\(b_2 = 2\)，並以「度」為單位。則 $$x_p = \frac{2 - 4}{2 - (-2)} = \frac{-2}{4} = -0.5$$而 $$y_p = 2 \cdot (-0.5) + 4 = 3$$夾角為 $$\arctan\!\left( \frac{-2 - 2}{1 + (2)(-2)} \right) = \arctan\!\left( \frac{-4}{-3} \right) = \arctan(1.3333) = 0.9273 \text{ 弧度} = 53.13°$$

常見問題

如果兩線斜率相等會怎樣？斜率相等代表兩線平行、永不相交，因此沒有交點；若連截距也相等，則兩線完全重合。

為什麼夾角一定是銳角？兩線相交會形成兩組相等的角，且每組相加為 180°。取銳角（0°–90°）能給出單一且明確的答案。

垂直的兩線如何處理？當 \(1 + a_1 \cdot a_2\) 等於 0 時，反正切的引數無定義，因此計算機會直接回傳 90°（\(\pi/2\)）。