Qué hace esta calculadora
A partir de dos rectas expresadas en forma explícita (pendiente-ordenada), \(y = \text{a}_1\cdot x + \text{b}_1\) e \(y = \text{a}_2\cdot x + \text{b}_2\), esta herramienta calcula su punto de intersección \(P(x_p, y_p)\) y el ángulo agudo \(\theta\) con el que se cruzan. Es una herramienta de geometría puramente matemática que funciona en cualquier plano de coordenadas, por lo que no depende de ningún país ni sistema de unidades.
Cómo usarla
Introduce la pendiente y la ordenada en el origen de cada recta. Elige si quieres obtener el ángulo de cruce en grados (opción por defecto) o en radianes y, a continuación, consulta las coordenadas de intersección y el ángulo en el panel de resultados. Si las rectas son paralelas, la herramienta indica que no existe intersección; si se trata de la misma recta, avisa de que son coincidentes.
Las fórmulas explicadas
Dos rectas se cortan donde sus valores de y coinciden: \(\text{a}_1\cdot x + \text{b}_1 = \text{a}_2\cdot x + \text{b}_2\). Al despejar x obtenemos $$x_p = \frac{\text{b}_2 - \text{b}_1}{\text{a}_1 - \text{a}_2}$$ y, sustituyendo de nuevo, $$y_p = \text{a}_1\cdot x_p + \text{b}_1$$ El ángulo entre las rectas se obtiene a partir de la identidad de la tangente de la diferencia: $$\theta = \left| \arctan\!\left( \frac{\text{a}_2 - \text{a}_1}{1 + \text{a}_1\,\text{a}_2} \right) \right|$$ El valor absoluto garantiza que se obtenga el ángulo agudo (de 0° a 90°). Cuando \(1 + \text{a}_1\cdot\text{a}_2 = 0\), las rectas son perpendiculares y \(\theta\) vale exactamente 90° (\(\pi/2\) radianes).
Ejemplo resuelto
Tomemos \(\text{a}_1 = 2\), \(\text{b}_1 = 4\), \(\text{a}_2 = -2\), \(\text{b}_2 = 2\) en grados. Entonces $$x_p = \frac{2 - 4}{2 - (-2)} = \frac{-2}{4} = -0{,}5$$ e $$y_p = 2\cdot(-0{,}5) + 4 = 3$$ El ángulo es $$\arctan\!\left(\frac{-2 - 2}{1 + (2)(-2)}\right) = \arctan\!\left(\frac{-4}{-3}\right) = \arctan(1{,}3333) = 0{,}9273\ \text{rad} = 53{,}13°$$
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si las pendientes son iguales? Si las pendientes coinciden, las rectas son paralelas y nunca se cortan, por lo que no hay punto de intersección; si además las ordenadas en el origen son iguales, las rectas son coincidentes.
¿Por qué el ángulo siempre es agudo? Dos rectas que se cruzan forman dos pares de ángulos iguales que suman 180°. Dar el valor agudo (de 0° a 90°) ofrece una respuesta única y sin ambigüedades.
¿Cómo se tratan las rectas perpendiculares? Cuando \(1 + \text{a}_1\cdot\text{a}_2\) es igual a cero, el argumento de la arcotangente no está definido, así que la calculadora devuelve exactamente 90° (\(\pi/2\)).
