ماذا تفعل هذه الحاسبة؟
عند إدخال خطين مستقيمين مكتوبين بصيغة الميل والتقاطع، \(y = \text{a}_1\cdot x + \text{b}_1\) و\(y = \text{a}_2\cdot x + \text{b}_2\)، تحسب هذه الأداة نقطة تقاطعهما \(P(x_p, y_p)\) والزاوية الحادة \(\theta\) التي يتقاطعان عندها. إنها أداة هندسية رياضية بحتة تعمل في أي مستوى إحداثي، ولذلك لا ترتبط بأي دولة أو نظام وحدات.
كيفية الاستخدام
أدخل ميل كل خط وقيمة تقاطعه مع المحور الصادي. ثم اختر ما إذا كنت تريد الزاوية مقاسة بالدرجات (الخيار الافتراضي) أو بالراديان، واقرأ إحداثيات نقطة التقاطع والزاوية من لوحة النتائج. إذا كان الخطان متوازيين فستُعلمك الأداة بعدم وجود نقطة تقاطع؛ وإذا كانا الخط نفسه فستُعلمك بأنهما متطابقان.
شرح المعادلات
يلتقي الخطان عند تساوي قيمتي y لديهما: \(\text{a}_1\cdot x + \text{b}_1 = \text{a}_2\cdot x + \text{b}_2\). وبحل المعادلة لإيجاد x نحصل على $$x_p = \frac{\text{b}_2 - \text{b}_1}{\text{a}_1 - \text{a}_2}$$ وبالتعويض من جديد نحصل على $$y_p = \text{a}_1\,x_p + \text{b}_1$$ أما الزاوية بين الخطين فتُستخرج من متطابقة فرق الظل: $$\theta = \left| \arctan\!\left( \frac{\text{a}_2 - \text{a}_1}{1 + \text{a}_1\,\text{a}_2} \right) \right|$$ وتضمن القيمة المطلقة الحصول على الزاوية الحادة (من 0° إلى 90°). وعندما يكون \(1 + \text{a}_1\cdot\text{a}_2 = 0\) يكون الخطان متعامدين وتكون \(\theta\) مساوية تماماً لـ 90° (\(\pi/2\) راديان).
مثال محلول
لنأخذ \(\text{a}_1 = 2\) و\(\text{b}_1 = 4\) و\(\text{a}_2 = -2\) و\(\text{b}_2 = 2\) بالدرجات. عندئذٍ $$x_p = \frac{2 - 4}{2 - (-2)} = \frac{-2}{4} = -0.5$$ و $$y_p = 2\cdot(-0.5) + 4 = 3$$ أما الزاوية فهي $$\arctan\!\left( \frac{-2 - 2}{1 + (2)(-2)} \right) = \arctan\!\left( \frac{-4}{-3} \right) = \arctan(1.3333) = 0.9273 \text{ راديان} = 53.13\degree$$
الأسئلة الشائعة
ماذا لو تساوى الميلان؟ تساوي الميلين يعني أن الخطين متوازيان ولا يلتقيان أبداً، فلا توجد نقطة تقاطع؛ وإذا تساوت قيمتا التقاطع أيضاً فإن الخطين متطابقان.
لماذا تكون الزاوية حادة دائماً؟ يشكّل الخطان المتقاطعان زوجين من الزوايا المتساوية مجموع كل زوج منهما 180°. وبعرض القيمة الحادة (من 0° إلى 90°) نحصل على إجابة واحدة واضحة لا لبس فيها.
كيف يتم التعامل مع الخطوط المتعامدة؟ عندما يساوي \(1 + \text{a}_1\cdot\text{a}_2\) صفراً يصبح مقدار دالة الظل العكسي غير معرّف، لذا تعيد الحاسبة القيمة 90° (\(\pi/2\)) بالضبط.
