이 계산기는 무엇을 하나요?
기울기-절편 형태로 표현된 두 직선 \(y = a_1\cdot x + b_1\)과 \(y = a_2\cdot x + b_2\)가 주어지면, 이 도구는 두 직선의 교점 \(P(x_p, y_p)\)와 두 직선이 만나는 예각 \(\theta\)를 구합니다. 순수한 수학·기하 계산기이므로 어느 좌표평면에서나 동일하게 적용되며, 특정 국가나 단위계와는 무관합니다.
사용 방법
각 직선의 기울기와 y절편을 입력하세요. 교차각을 도(度, 기본값)로 표시할지 라디안으로 표시할지 선택한 다음, 결과 패널에서 교점 좌표와 각도를 확인하면 됩니다. 두 직선이 평행하면 교점이 존재하지 않는다고 알려 주고, 완전히 같은 직선이면 두 직선이 일치한다고 표시합니다.
공식 설명
두 직선은 y값이 같아지는 지점에서 만납니다. 즉 \(a_1\cdot x + b_1 = a_2\cdot x + b_2\)입니다. 이를 x에 대해 풀면 \(x_p = (b_2 - b_1) / (a_1 - a_2)\)가 되고, 이 값을 다시 대입하면 \(y_p = a_1\cdot x_p + b_1\)을 얻습니다. 두 직선 사이의 각은 탄젠트 차 공식에서 나옵니다.
$$x_p = \frac{b_2 - b_1}{a_1 - a_2}, \qquad y_p = a_1\,x_p + b_1$$$$\theta = \left| \arctan\!\left( \frac{a_2 - a_1}{1 + a_1\,a_2} \right) \right| \times \frac{180}{\pi}$$이며, 절댓값을 취하므로 항상 예각(0°~90°)이 됩니다. \(1 + a_1\cdot a_2 = 0\)인 경우 두 직선은 서로 수직이며 \(\theta\)는 정확히 90°(\(\pi/2\) 라디안)입니다.
예제 풀이
\(a_1 = 2\), \(b_1 = 4\), \(a_2 = -2\), \(b_2 = 2\)를 도 단위로 계산해 봅시다. \(x_p = (2 - 4)/(2 - (-2)) = -2/4 = -0.5\)이고, \(y_p = 2\cdot(-0.5) + 4 = 3\)입니다. 각도는 $$\arctan\!\left(\frac{-2 - 2}{1 + (2)(-2)}\right) = \arctan(-4/-3) = \arctan(1.3333) = 0.9273\ \text{rad} = 53.13°$$입니다.
자주 묻는 질문
두 기울기가 같으면 어떻게 되나요? 기울기가 같다는 것은 두 직선이 평행하다는 뜻이므로 서로 만나지 않습니다. 따라서 교점이 없습니다. 만약 y절편까지 같다면 두 직선은 완전히 같은 직선입니다.
각도가 항상 예각인 이유는 무엇인가요? 두 직선이 교차하면 합이 180°가 되는 두 쌍의 맞꼭지각이 생깁니다. 그중 예각(0°~90°)을 표시하면 하나의 명확한 값으로 답을 제시할 수 있습니다.
수직인 직선은 어떻게 처리하나요? \(1 + a_1\cdot a_2\)가 0이 되면 아크탄젠트의 분모가 정의되지 않으므로, 계산기는 정확히 90°(\(\pi/2\))를 반환합니다.
