Введите расчет

Результатов

Точка пересечения P(x_p, y_p)

(-0,5, 3)

Lines intersect at a single point.

Координата пересечения x_p	-0,5
Координата пересечения y_p	3
Crossing angle θ	53,1301 degrees

Что считает этот калькулятор

По двум прямым, заданным уравнением с угловым коэффициентом — $y = a_1\cdot x + b_1$ и $y = a_2\cdot x + b_2$, — инструмент находит точку их пересечения $P(x_p, y_p)$ и острый угол $\theta$, под которым прямые пересекаются. Это чисто геометрический калькулятор: он работает на любой координатной плоскости, поэтому здесь нет привязки к стране или системе единиц.

Две прямые, пересекающиеся на координатной сетке x-y, с отмеченной точкой пересечения и выделенным острым углом пересечения — Две прямые встречаются в единственной точке пересечения P, пересекаясь под острым углом θ.

Как пользоваться

Введите угловой коэффициент и точку пересечения с осью Y для каждой прямой. Выберите, в чём показывать угол: в градусах (по умолчанию) или в радианах, — и считайте координаты точки пересечения и угол с панели результатов. Если прямые параллельны, калькулятор сообщит, что пересечения нет; если это одна и та же прямая — что они совпадают.

Разбор формул

Прямые пересекаются там, где их значения y равны: $a_1\cdot x + b_1 = a_2\cdot x + b_2$. Решая относительно x, получаем $x_p = \dfrac{b_2 - b_1}{a_1 - a_2}$, а подставляя обратно — $y_p = a_1\cdot x_p + b_1$. Угол между прямыми вычисляется через тангенс разности: $\theta = \left| \arctan\!\left( \dfrac{a_2 - a_1}{1 + a_1\,a_2} \right) \right|$. Модуль гарантирует острый угол (от 0° до 90°). Когда $1 + a_1\cdot a_2 = 0$, прямые перпендикулярны и $\theta$ равен ровно 90° ($\pi/2$ радиан).

$$\begin{gathered} x_p = \frac{\text{b}_2 - \text{b}_1}{\text{a}_1 - \text{a}_2}, \qquad y_p = \text{a}_1\,x_p + \text{b}_1 \\[1.5em] \theta = \left| \arctan\!\left( \frac{\text{a}_2 - \text{a}_1}{1 + \text{a}_1\,\text{a}_2} \right) \right| \times \frac{180}{\pi} \end{gathered}$$

Три небольшие схемы, показывающие параллельные прямые, совпадающие наложенные прямые и перпендикулярно пересекающиеся прямые — Особые случаи: параллельные прямые не пересекаются, совпадающие прямые накладываются, а перпендикулярные пересекаются под углом 90 градусов.

Пример расчёта

Пусть $a_1 = 2$, $b_1 = 4$, $a_2 = -2$, $b_2 = 2$, угол — в градусах. Тогда $$x_p = \frac{2 - 4}{2 - (-2)} = \frac{-2}{4} = -0{,}5,$$ а $$y_p = 2\cdot(-0{,}5) + 4 = 3.$$ Угол равен $$\arctan\!\left(\frac{-2 - 2}{1 + (2)(-2)}\right) = \arctan\!\left(\frac{-4}{-3}\right) = \arctan(1{,}3333) = 0{,}9273 \text{ рад} = 53{,}13°.$$

Частые вопросы

Что, если угловые коэффициенты равны? Равные коэффициенты означают, что прямые параллельны и никогда не пересекаются, поэтому точки пересечения нет; а если совпадают ещё и свободные члены, то прямые тождественны.

Почему угол всегда острый? Две пересекающиеся прямые образуют две пары равных углов, дающих в сумме 180°. Острое значение (0°–90°) даёт один однозначный ответ.

Как обрабатываются перпендикулярные прямые? Когда $1 + a_1\cdot a_2$ равно нулю, аргумент арктангенса не определён, поэтому калькулятор возвращает ровно 90° ($\pi/2$).

Похожие калькуляторы