Máy tính giao điểm và góc cắt của hai đường thẳng

Nhập phép tính

Line 1: y = a1·x + b1 — slope a1

tung độ gốc b1

Line 2: y = a2·x + b2 — slope a2

tung độ gốc b2

Đơn vị góc Degrees Radians

Kết quả

Giao điểm P(x_p, y_p)

(-0,5, 3)

Lines intersect at a single point.

Hoành độ giao điểm x_p	-0,5
Tung độ giao điểm y_p	3
Crossing angle θ	53,1301 degrees

Công cụ này làm gì

Cho hai đường thẳng viết dưới dạng hệ số góc – tung độ gốc, \(y = \text{a}_1\cdot x + \text{b}_1\) và \(y = \text{a}_2\cdot x + \text{b}_2\), công cụ sẽ tìm giao điểm \(P(x_p, y_p)\) và góc nhọn \(\theta\) mà hai đường thẳng cắt nhau. Đây là một công cụ hình học thuần toán, hoạt động trên mọi mặt phẳng tọa độ nên không phụ thuộc vào quốc gia hay hệ đơn vị nào.

Hai đường thẳng gặp nhau tại một giao điểm P duy nhất, cắt nhau ở một góc nhọn θ.

Cách sử dụng

Nhập hệ số góc và tung độ gốc của từng đường thẳng. Chọn đơn vị cho góc cắt là độ (mặc định) hoặc radian, sau đó đọc tọa độ giao điểm và số đo góc ở khung kết quả. Nếu hai đường song song, công cụ sẽ báo không có giao điểm; nếu chúng là cùng một đường thì sẽ báo hai đường trùng nhau.

Giải thích các công thức

Hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tung độ bằng nhau: \(\text{a}_1\cdot x + \text{b}_1 = \text{a}_2\cdot x + \text{b}_2\). Giải ra \(x\) ta được \(x_p = \dfrac{\text{b}_2 - \text{b}_1}{\text{a}_1 - \text{a}_2}\), rồi thay ngược lại được \(y_p = \text{a}_1\cdot x_p + \text{b}_1\). Góc giữa hai đường suy ra từ công thức hiệu tang: \(\theta = \left| \arctan\!\left( \dfrac{\text{a}_2 - \text{a}_1}{1 + \text{a}_1\,\text{a}_2} \right) \right|\). Các công thức đầy đủ:

$$\begin{gathered} x_p = \frac{\text{b}_2 - \text{b}_1}{\text{a}_1 - \text{a}_2}, \qquad y_p = \text{a}_1\,x_p + \text{b}_1 \\[1.5em] \theta = \left| \arctan\!\left( \frac{\text{a}_2 - \text{a}_1}{1 + \text{a}_1\,\text{a}_2} \right) \right| \times \frac{180}{\pi} \end{gathered}$$

Dấu giá trị tuyệt đối đảm bảo ta luôn nhận được góc nhọn (từ 0° đến 90°). Khi \(1 + \text{a}_1\,\text{a}_2 = 0\), hai đường vuông góc và \(\theta\) bằng đúng 90° (\(\pi/2\) radian).

Các trường hợp đặc biệt: hai đường song song không bao giờ gặp nhau, hai đường trùng nhau chồng lên nhau, và hai đường vuông góc cắt nhau ở 90 độ.

Ví dụ minh họa

Lấy \(\text{a}_1 = 2\), \(\text{b}_1 = 4\), \(\text{a}_2 = -2\), \(\text{b}_2 = 2\) với đơn vị độ. Khi đó

$$x_p = \frac{2 - 4}{2 - (-2)} = \frac{-2}{4} = -0{,}5,$$$$y_p = 2\cdot(-0{,}5) + 4 = 3.$$

Góc cắt là

$$\arctan\!\left(\frac{-2 - 2}{1 + (2)(-2)}\right) = \arctan\!\left(\frac{-4}{-3}\right) = \arctan(1{,}3333) = 0{,}9273 \text{ rad} = 53{,}13°.$$

Câu hỏi thường gặp

Nếu hai hệ số góc bằng nhau thì sao? Hệ số góc bằng nhau nghĩa là hai đường song song và không bao giờ gặp nhau, nên không tồn tại giao điểm; nếu tung độ gốc cũng bằng nhau thì hai đường trùng nhau.

Vì sao góc luôn là góc nhọn? Hai đường cắt nhau tạo thành hai cặp góc bằng nhau, mỗi cặp cộng lại bằng 180°. Báo cáo giá trị góc nhọn (0°–90°) cho ra một đáp án duy nhất, rõ ràng.

Trường hợp hai đường vuông góc được xử lý ra sao? Khi \(1 + \text{a}_1\,\text{a}_2\) bằng 0, đối số của hàm arctan không xác định, nên máy tính trả về đúng 90° (\(\pi/2\)).