यह कैलकुलेटर क्या करता है
जब दो सरल रेखाएँ ढाल-अंतःखंड (slope-intercept) रूप में दी गई हों — \(y = a_1\cdot x + b_1\) और \(y = a_2\cdot x + b_2\) — तो यह टूल उनका प्रतिच्छेदन बिंदु \(P(x_p, y_p)\) और वह न्यून कोण \(\theta\) निकालता है जिस पर ये रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं। यह विशुद्ध ज्यामिति (गणित) का टूल है जो किसी भी निर्देशांक तल में काम करता है, इसलिए इस पर कोई देश या मापन प्रणाली लागू नहीं होती।
इसका उपयोग कैसे करें
हर रेखा का ढाल (slope) और y-अंतःखंड (intercept) दर्ज करें। चुनें कि आप काटने के कोण को डिग्री में देखना चाहते हैं (डिफ़ॉल्ट) या रेडियन में, फिर परिणाम पैनल से प्रतिच्छेदन के निर्देशांक और कोण पढ़ें। यदि रेखाएँ समांतर हुईं तो टूल बता देगा कि कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है; और यदि दोनों एक ही रेखा हुई तो यह बताएगा कि वे समान हैं।
सूत्रों की व्याख्या
दो रेखाएँ वहाँ मिलती हैं जहाँ उनके y-मान बराबर होते हैं: \(a_1\cdot x + b_1 = a_2\cdot x + b_2\)। x के लिए हल करने पर $$x_p = \frac{b_2 - b_1}{a_1 - a_2}$$ मिलता है, और इसे वापस रखने पर $$y_p = a_1\cdot x_p + b_1$$ । रेखाओं के बीच का कोण स्पर्शज्या-अंतर सर्वसमिका (tangent-difference identity) से आता है: $$\theta = \left| \arctan\!\left( \frac{a_2 - a_1}{1 + a_1\,a_2} \right) \right|$$ । निरपेक्ष मान (absolute value) यह सुनिश्चित करता है कि कोण हमेशा न्यून हो (0° से 90° तक)। जब \(1 + a_1\cdot a_2 = 0\) होता है, तब रेखाएँ परस्पर लंब होती हैं और \(\theta\) ठीक 90° (\(\pi/2\) रेडियन) होता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए डिग्री में \(a_1 = 2\), \(b_1 = 4\), \(a_2 = -2\), \(b_2 = 2\) हैं। तब $$x_p = \frac{2 - 4}{2 - (-2)} = \frac{-2}{4} = -0.5$$ और $$y_p = 2\cdot(-0.5) + 4 = 3$$ । कोण होगा $$\arctan\!\left(\frac{-2 - 2}{1 + (2)(-2)}\right) = \arctan\!\left(\frac{-4}{-3}\right) = \arctan(1.3333) = 0.9273 \text{ रेडियन} = 53.13°$$ ।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
यदि दोनों रेखाओं का ढाल बराबर हो तो क्या होगा? बराबर ढाल का मतलब है कि रेखाएँ समांतर हैं और कभी नहीं मिलतीं, इसलिए कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं होता; यदि अंतःखंड भी बराबर हों तो दोनों एक ही रेखा होती हैं।
कोण हमेशा न्यून ही क्यों होता है? दो काटती हुई रेखाएँ बराबर कोणों के दो जोड़े बनाती हैं, जिनका योग 180° होता है। न्यून मान (0°–90°) देने से एक ही स्पष्ट और निश्चित उत्तर मिलता है।
लंब रेखाओं को कैसे संभाला जाता है? जब \(1 + a_1\cdot a_2\) शून्य के बराबर हो जाता है, तब arctangent का मान अपरिभाषित हो जाता है, इसलिए कैलकुलेटर ठीक 90° (\(\pi/2\)) लौटाता है।
