सहचर लीजेंड्र बहुपद तालिका कैलकुलेटर क्या है?

यह टूल x की चुनी हुई रेंज पर सहचर लीजेंड्र फलन $P_n^m(x)$ (घात n, क्रम m) के मानों की एक तालिका बनाता है और उससे जुड़ा वक्र (curve) भी खींचता है। यह विशुद्ध गणित है, इसलिए हर जगह एक समान लागू होता है — इसमें न कोई इकाई है और न ही किसी देश-विशेष की कोई मान्यता। सहचर लीजेंड्र बहुपद भौतिकी और अनुप्रयुक्त गणित में हर ओर दिखते हैं: गोलीय हार्मोनिक्स (spherical harmonics) में, गोलीय निर्देशांकों में लाप्लास समीकरण के हल में, बहुध्रुवीय विस्तार (multipole expansions) में, और कोणीय संवेग (angular momentum) के क्वांटम यांत्रिकी में।

इसका उपयोग कैसे करें

पूर्णांक घात n (0, 1, 2, ...) और पूर्णांक क्रम m दर्ज करें, जहाँ $-n \le m \le n$ हो। x का आरंभिक मान (−1 और 1 के बीच), स्टेप वृद्धि और पंक्तियों की संख्या चुनें। डिफ़ॉल्ट मान n = 2, m = 1, आरंभ = −1, स्टेप = 0.02 और 101 पंक्तियाँ x को −1 से +1 तक (दोनों सिरों सहित) घुमाते हैं। Type A (Wolfram परिपाटी) या Type B (Maple परिपाटी) में से कोई एक चुनें; (−1, 1) में वास्तविक x के लिए दोनों का परिमाण समान रहता है और केवल पूर्वगुणांक (prefactor) के चिह्न/कला (phase) में अंतर होता है।

सूत्र की व्याख्या

पूर्णांक n और $0 \le m \le n$ के लिए हम $$P_n^m(x) = (-1)^m\,(1-x^2)^{m/2}\,\frac{d^m}{dx^m}P_n(x)$$ का प्रयोग करते हैं, जिसका मूल्यांकन संख्यात्मक रूप से स्थिर पुनरावृत्ति (recurrence) से किया जाता है: $P_m^m = (-1)^m(2m-1)!!\,(1-x^2)^{m/2}$, $P_{m+1}^m = x(2m+1)P_m^m$, और फिर $(l-m)P_l^m = (2l-1)x\,P_{l-1}^m - (l+m-1)P_{l-2}^m$। ऋणात्मक m के लिए, $P_n^{-m} = (-1)^m\frac{(n-m)!}{(n+m)!}P_n^m$। यह बंद पुनरावृत्ति धनात्मक पूर्णांक m के लिए शाब्दिक 2F1 रूप में होने वाले गामा-फलन के अनियंत्रित विस्फोट (blow-up) से बचाती है।

ऋण एक से एक तक के अंतराल पर खींचे गए कई संबद्ध लीजेंड्र फलनों के वक्र — अंतराल [-1, 1] पर पहले कुछ संबद्ध लीजेंड्र फलनों $P_n^m(x)$ के ग्राफ़।

हल किया हुआ उदाहरण

n = 2, m = 1 के साथ फलन है $$P_2^1(x) = -3x\sqrt{1-x^2}$$ x = 0 पर मान 0 है; x = 0.5 पर यह $-3(0.5)(0.866025) = -1.299038$ है; और x = -0.5 पर यह +1.299038 है। वक्र 0 से शुरू होता है (x = -1), x = -0.577 के पास लगभग +1.1547 तक ऊपर चढ़ता है, x = 0 पर शून्य को पार करता है, x = +0.577 के पास लगभग -1.1547 तक नीचे गिरता है, और x = +1 पर फिर 0 पर लौट आता है।

घात n के अनुसार पंक्तियों और क्रम m के अनुसार स्तंभों में अनुक्रमित बहुपद प्रविष्टियों की त्रिकोणीय व्यवस्था — तालिका लेआउट: पंक्तियाँ घात n के अनुसार, स्तंभ क्रम m के अनुसार, प्रत्येक कोष्ठ में $P_n^m(x)$।

बंद-रूप संबद्ध Legendre फलन P_n^m(x)

संबद्ध Legendre फलन $P_n^m(x)$ पूर्णांक घात $n$ और क्रम $0\le m\le n$ के लिए $P_n^m(x)=(-1)^m(1-x^2)^{m/2}\dfrac{d^m}{dx^m}P_n(x)$ से अनुसरण करते हैं। गुणक $(-1)^m$ Condon–Shortley चरण है जो Type A अभिसम्मति में शामिल है (Wolfram से मेल खाता है); Type B अभिसम्मति (Maple) इसे छोड़ देती है, इसलिए इसकी विषम-$m$ प्रविष्टियाँ केवल चिन्ह में भिन्न होती हैं। नीचे दी गई तालिका Type A के तहत स्पष्ट रूपों को सूचीबद्ध करती है।

$n$	$m$	$P_n^m(x)$ (Type A, चिन्ह के साथ)
0	0	$1$
1	0	$x$
1	1	$-\sqrt{1-x^2}$
2	0	$\tfrac{1}{2}(3x^2-1)$
2	1	$-3x\sqrt{1-x^2}$
2	2	$3(1-x^2)$
3	0	$\tfrac{1}{2}(5x^3-3x)$
3	1	$-\tfrac{3}{2}(5x^2-1)\sqrt{1-x^2}$
3	2	$15x(1-x^2)$
3	3	$-15(1-x^2)^{3/2}$

एक कार्य के रूप में जाँच करने के लिए, $x=0.5$ पर प्रविष्टि $P_2^1$ देता है $-3(0.5)\sqrt{1-0.25}=-1.5\sqrt{0.75}=$ -1.299038। $m=0$ स्तंभ सामान्य Legendre बहुपद $P_n(x)$ को पुनः उत्पन्न करता है, उदाहरण के लिए $P_3^0(x)=\tfrac12(5x^3-3x)$, जिसे Legendre बहुपद तालिका कैलकुलेटर के साथ सारणीबद्ध किया जा सकता है।

मुख्य शब्द और चर

घात $n$: एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक (degreeN) जो अंतर्निहित Legendre बहुपद $P_n(x)$ के क्रम को निर्धारित करता है, जो घात $n$ का एक बहुपद है।
क्रम $m$: एक पूर्णांक (orderM) जो नियंत्रित करता है कि कितने व्युत्पन्न लिए जाते हैं। $(-1,1)$ पर वास्तविक-मूल्य वाले परिणामों के लिए आमतौर पर $0\le m\le n$ का उपयोग किया जाता है; जब $m>n$ फलन समान रूप से शून्य होता है क्योंकि घात-$n$ बहुपद का $m$-वाँ व्युत्पन्न लुप्त हो जाता है।
तर्क $x$: मूल्यांकन बिंदु (initialX जमा $i\cdot$stepX)। फलन $-1\le x\le 1$ के लिए वास्तविक हैं; भौतिकी में $x=\cos\theta$।
Type A (Wolfram / Condon–Shortley): चरण गुणक $(-1)^m$ को शामिल करता है। यह Wolfram के LegendreP और मानक क्वांटम-यांत्रिकी पाठ द्वारा उपयोग की जाने वाली अभिसम्मति है।
Type B (Maple): $(-1)^m$ चरण को छोड़ता है, इसलिए $P_n^m$ (Type B) $=(-1)^m\,P_n^m$ (Type A)। परिमाण समान हैं; केवल विषम-$m$ प्रविष्टियों का चिन्ह भिन्न होता है।
दोहरा भाज्य $(2m-1)!!$: विषम पूर्णांकों का गुणनफल $(2m-1)(2m-3)\cdots 3\cdot 1$, जहाँ $(-1)!!=1$। यह अग्रणी गुणांक $P_m^m(x)=(-1)^m(2m-1)!!\,(1-x^2)^{m/2}$ में प्रकट होता है; उदाहरण के लिए $P_3^3$ $5!!=15$ का उपयोग करता है। इन मानों के लिए दोहरे-भाज्य कैलकुलेटर देखें।
ऋणात्मक-क्रम संबंध: $m>0$ के लिए, $P_n^{-m}(x)=(-1)^m\dfrac{(n-m)!}{(n+m)!}\,P_n^{m}(x)$, जो सकारात्मक और ऋणात्मक क्रमों को भाज्य के माध्यम से जोड़ता है।

तालिका और ग्राफ की व्याख्या

कई संरचनात्मक गुणधर्म आपको सारणीबद्ध मानों और प्लॉट किए गए वक्र की विवेक-जाँच करने देते हैं:

समता। $P_n^m(-x)=(-1)^{n+m}P_n^m(x)$। जब $n+m$ सम है, ग्राफ $x=0$ के बारे में सममित है; जब $n+m$ विषम है यह असममित है (और इसलिए मूल से गुजरता है)।
आंतरिक में शून्य। खुले अंतराल $(-1,1)$ पर, $P_n^m(x)$ के ठीक $n-m$ सरल शून्य हैं। उदाहरण के लिए $P_3^1$ के दो आंतरिक शून्य हैं, जबकि $P_n^n$ के कोई नहीं हैं।
अंतबिंदु व्यवहार। गुणक $(1-x^2)^{m/2}$ के कारण, $m>0$ वाला प्रत्येक फलन $x=\pm 1$ पर लुप्त हो जाता है। $m=0$ के लिए मान $P_n(1)=1$ और $P_n(-1)=(-1)^n$ हैं।
किनारों के पास परिमाण। उच्चतर $m$ के लिए $(1-x^2)^{m/2}$ गुणक वक्र को तीव्रता से दबाता है जैसे $x\to\pm1$, इसलिए सबसे बड़ी विचलन सीमा के बीच की ओर होती है।

ये फलन गोलीय सुरसंगति $Y_n^m(\theta,\phi)$ का $\theta$-निर्भर भाग हैं: $x=\cos\theta$ लिखने पर, एक के पास $Y_n^m\propto P_n^m(\cos\theta)\,e^{im\phi}$ है। आंतरिक शून्य अक्षांश की नोडल मंडलियाँ बन जाते हैं, और $m>0$ अंतबिंदु लुप्त होना सुरसंगति के ध्रुवों पर शून्य की ओर जाता है। समान $P_n^m$ मान इसलिए सीधे चुने गए $\theta$ और $\phi$ पर एक गोलीय-सुरसंगति मूल्यांकन में भरते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

n और m का पूर्णांक होना क्यों ज़रूरी है? बहुपद का समाप्त होने वाला (terminating) रूप पाने के लिए n का ऋणेतर पूर्णांक होना आवश्यक है; और पुनरावृत्ति तथा $(n\pm m)!$ गुणनखंडों के लिए m का पूर्णांक होना ज़रूरी है, जहाँ $-n \le m \le n$।

दिखाया गया नमूना मान (sample value) क्या है? हीरो बॉक्स तालिका की मध्य पंक्ति (median index) पर x और $P_n^m(x)$ के मान दिखाता है — यह वक्र की एक झटपट जाँच है।

m = 0 क्या देता है? $P_n^0(x)$ सामान्य लीजेंड्र बहुपद $P_n(x)$ ही होता है।

x	P₂¹(x)
-1	0
-0.98	0.585053
-0.96	0.8064
-0.94	0.962112
-0.92	1.081695
-0.9	1.176903
-0.88	1.253931
-0.86	1.316559
-0.84	1.367318
-0.82	1.408014
-0.8	1.44
-0.78	1.464324
-0.76	1.481825
-0.74	1.493187
-0.72	1.498984
-0.7	1.4997
-0.68	1.495753
-0.66	1.487506
-0.64	1.47528
-0.62	1.459359
-0.6	1.44
-0.58	1.417433
-0.56	1.391868
-0.54	1.363497
-0.52	1.332499
-0.5	1.299038
-0.48	1.263267
-0.46	1.225328
-0.44	1.185357
-0.42	1.14348
-0.4	1.099818
-0.38	1.054485
-0.36	1.007588
-0.34	0.959234
-0.32	0.909521
-0.3	0.858545
-0.28	0.8064
-0.26	0.753175
-0.24	0.698956
-0.22	0.64383
-0.2	0.587878
-0.18	0.53118
-0.16	0.473816
-0.14	0.415864
-0.12	0.357399
-0.1	0.298496
-0.08	0.239231
-0.06	0.179676
-0.04	0.119904
-0.02	0.059988
0	-0
0.02	-0.059988
0.04	-0.119904
0.06	-0.179676
0.08	-0.239231
0.1	-0.298496
0.12	-0.357399
0.14	-0.415864
0.16	-0.473816
0.18	-0.53118
0.2	-0.587878
0.22	-0.64383
0.24	-0.698956
0.26	-0.753175
0.28	-0.8064
0.3	-0.858545
0.32	-0.909521
0.34	-0.959234
0.36	-1.007588
0.38	-1.054485
0.4	-1.099818
0.42	-1.14348
0.44	-1.185357
0.46	-1.225328
0.48	-1.263267
0.5	-1.299038
0.52	-1.332499
0.54	-1.363497
0.56	-1.391868
0.58	-1.417433
0.6	-1.44
0.62	-1.459359
0.64	-1.47528
0.66	-1.487506
0.68	-1.495753
0.7	-1.4997
0.72	-1.498984
0.74	-1.493187
0.76	-1.481825
0.78	-1.464324
0.8	-1.44
0.82	-1.408014
0.84	-1.367318
0.86	-1.316559
0.88	-1.253931
0.9	-1.176903
0.92	-1.081695
0.94	-0.962112
0.96	-0.8064
0.98	-0.585053
1	-0

\(n\)	\(m\)	\(P_n^m(x)\) (Type A, चिन्ह के साथ)
0	0	\(1\)
1	0	\(x\)
1	1	\(-\sqrt{1-x^2}\)
2	0	\(\tfrac{1}{2}(3x^2-1)\)
2	1	\(-3x\sqrt{1-x^2}\)
2	2	\(3(1-x^2)\)
3	0	\(\tfrac{1}{2}(5x^3-3x)\)
3	1	\(-\tfrac{3}{2}(5x^2-1)\sqrt{1-x^2}\)
3	2	\(15x(1-x^2)\)
3	3	\(-15(1-x^2)^{3/2}\)

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