यह कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल किसी एक निश्चित क्रम n के लिए फिज़िसिस्ट हर्माइट बहुपद \(H_n(x)\) का मान x के कई मानों पर निकालता है। यह आपको \((x, H_n(x))\) जोड़ों की एक तालिका देता है और साथ ही उसका वक्र (कर्व) भी खींचता है। हर्माइट बहुपद क्वांटम यांत्रिकी (हार्मोनिक ऑसिलेटर की ऊर्जा आइगन-अवस्थाएँ), प्रायिकता सिद्धांत और संख्यात्मक विश्लेषण (गॉस-हर्माइट क्वाड्रेचर) में बार-बार सामने आते हैं।
इसका उपयोग कैसे करें
बहुपद का क्रम n दर्ज करें (एक अऋणात्मक पूर्णांक जैसे 0, 1, 2, 3, ...), इसके बाद x का प्रारंभिक मान, वृद्धि (लगातार x मानों के बीच का अंतराल), और पुनरावृत्तियों की संख्या (कितनी पंक्तियाँ बनानी हैं)। i-वाँ x मान इस सूत्र से मिलता है: $$x_i = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}$$ जहाँ i = 0 से count-1 तक। ऋणात्मक वृद्धि देने पर तालिका घटते क्रम में बनेगी; शून्य वृद्धि देने पर वही x बार-बार दोहराया जाएगा।
सूत्र
ये फिज़िसिस्ट हर्माइट बहुपद हैं, जो अवकल समीकरण \(y'' - 2x \cdot y' + 2n \cdot y = 0\) को संतुष्ट करते हैं और जनक फलन \(\exp(2xt - t^2)\) से उत्पन्न होते हैं। हम इन्हें स्थिर तीन-पद पुनरावृत्ति (recurrence) से निकालते हैं: $$H_0(x) = 1, \quad H_1(x) = 2x, \quad H_{k+1}(x) = 2x \cdot H_k(x) - 2k \cdot H_{k-1}(x)$$ इससे फैक्टोरियल ओवरफ्लो से बचा जा सकता है। ध्यान दें कि ये प्रोबेबिलिस्ट \(He_n(x)\) नहीं हैं, जिनका सूत्र \(He_{k+1} = x \cdot He_k - k \cdot He_{k-1}\) होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
n = 3 के लिए पुनरावृत्ति से मिलता है \(H_2(x) = 4x^2 - 2\) और \(H_3(x) = 8x^3 - 12x\)। x = −2.5 पर: $$8(-15.625) + 30 = -95$$ x = 0 पर यह 0 है, और x = 2.5 पर यह +95 है। startX = −2.5, stepX = 0.1 और 51 पुनरावृत्तियों के साथ तालिका (−2.5, −95) से शुरू होकर (0, 0) से होते हुए (2.5, 95) तक जाती है, और एक विषम-सममित घन (cubic) आकार का वक्र बनाती है।
सामान्य प्रश्न (FAQ)
कौन-सी परिपाटी (convention) उपयोग होती है? फिज़िसिस्ट परिपाटी \(H_n\), जिसमें \(H_1(x) = 2x\)। पहले कुछ बहुपद: \(H_0 = 1\), \(H_1 = 2x\), \(H_2 = 4x^2 - 2\), \(H_4 = 16x^4 - 48x^2 + 12\), \(H_5 = 32x^5 - 160x^3 + 120x\)।
अगर n = 0 हो तो क्या होगा? हर x के लिए \(H_0(x) = 1\) होता है, इसलिए तालिका और ग्राफ ऊँचाई 1 पर एक सपाट रेखा होंगे।
बड़े n के लिए मान इतनी तेज़ी से क्यों बढ़ जाते हैं? बड़े क्रम और बड़े |x| के लिए हर्माइट बहुपद बेहद तेज़ी से बढ़ते हैं; डबल प्रिसिज़न लगभग 1e308 से आगे ओवरफ्लो हो सकता है। समझदारी भरे ग्राफ के लिए n और x की रेंज को छोटा रखें।
