हर्माइट बहुपद Hn(x) तालिका और ग्राफ कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

n (बहुपद का क्रम)

x का प्रारंभिक मान

वृद्धि

पुनरावृत्तियों की संख्या

परिणाम

Hermite polynomial order n = 3

51 points

first H_n(x) = -95, last H_n(x) = 95

i	x	Hn(x)
0	-2.5	-95
1	-2.4	-81.792
2	-2.3	-69.736
3	-2.2	-58.784
4	-2.1	-48.888
5	-2	-40
6	-1.9	-32.072
7	-1.8	-25.056
8	-1.7	-18.904
9	-1.6	-13.568
10	-1.5	-9
11	-1.4	-5.152
12	-1.3	-1.976
13	-1.2	0.576
14	-1.1	2.552
15	-1	4
16	-0.9	4.968
17	-0.8	5.504
18	-0.7	5.656
19	-0.6	5.472
20	-0.5	5
21	-0.4	4.288
22	-0.3	3.384
23	-0.2	2.336
24	-0.1	1.192
25	0	-0
26	0.1	-1.192
27	0.2	-2.336
28	0.3	-3.384
29	0.4	-4.288
30	0.5	-5
31	0.6	-5.472
32	0.7	-5.656
33	0.8	-5.504
34	0.9	-4.968
35	1	-4
36	1.1	-2.552
37	1.2	-0.576
38	1.3	1.976
39	1.4	5.152
40	1.5	9
41	1.6	13.568
42	1.7	18.904
43	1.8	25.056
44	1.9	32.072
45	2	40
46	2.1	48.888
47	2.2	58.784
48	2.3	69.736
49	2.4	81.792
50	2.5	95

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल किसी एक निश्चित क्रम n के लिए फिज़िसिस्ट हर्माइट बहुपद \(H_n(x)\) का मान x के कई मानों पर निकालता है। यह आपको \((x, H_n(x))\) जोड़ों की एक तालिका देता है और साथ ही उसका वक्र (कर्व) भी खींचता है। हर्माइट बहुपद क्वांटम यांत्रिकी (हार्मोनिक ऑसिलेटर की ऊर्जा आइगन-अवस्थाएँ), प्रायिकता सिद्धांत और संख्यात्मक विश्लेषण (गॉस-हर्माइट क्वाड्रेचर) में बार-बार सामने आते हैं।

इसका उपयोग कैसे करें

बहुपद का क्रम n दर्ज करें (एक अऋणात्मक पूर्णांक जैसे 0, 1, 2, 3, ...), इसके बाद x का प्रारंभिक मान, वृद्धि (लगातार x मानों के बीच का अंतराल), और पुनरावृत्तियों की संख्या (कितनी पंक्तियाँ बनानी हैं)। i-वाँ x मान इस सूत्र से मिलता है: $$x_i = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}$$ जहाँ i = 0 से count-1 तक। ऋणात्मक वृद्धि देने पर तालिका घटते क्रम में बनेगी; शून्य वृद्धि देने पर वही x बार-बार दोहराया जाएगा।

सूत्र

ये फिज़िसिस्ट हर्माइट बहुपद हैं, जो अवकल समीकरण \(y'' - 2x \cdot y' + 2n \cdot y = 0\) को संतुष्ट करते हैं और जनक फलन \(\exp(2xt - t^2)\) से उत्पन्न होते हैं। हम इन्हें स्थिर तीन-पद पुनरावृत्ति (recurrence) से निकालते हैं: $$H_0(x) = 1, \quad H_1(x) = 2x, \quad H_{k+1}(x) = 2x \cdot H_k(x) - 2k \cdot H_{k-1}(x)$$ इससे फैक्टोरियल ओवरफ्लो से बचा जा सकता है। ध्यान दें कि ये प्रोबेबिलिस्ट \(He_n(x)\) नहीं हैं, जिनका सूत्र \(He_{k+1} = x \cdot He_k - k \cdot He_{k-1}\) होता है।

तीन-पद पुनरावृत्ति प्रत्येक हर्माइट बहुपद को पिछले दो क्रमों से बनाती है।

हल किया हुआ उदाहरण

n = 3 के लिए पुनरावृत्ति से मिलता है \(H_2(x) = 4x^2 - 2\) और \(H_3(x) = 8x^3 - 12x\)। x = −2.5 पर: $$8(-15.625) + 30 = -95$$ x = 0 पर यह 0 है, और x = 2.5 पर यह +95 है। startX = −2.5, stepX = 0.1 और 51 पुनरावृत्तियों के साथ तालिका (−2.5, −95) से शुरू होकर (0, 0) से होते हुए (2.5, 95) तक जाती है, और एक विषम-सममित घन (cubic) आकार का वक्र बनाती है।

सामान्य प्रश्न (FAQ)

कौन-सी परिपाटी (convention) उपयोग होती है? फिज़िसिस्ट परिपाटी \(H_n\), जिसमें \(H_1(x) = 2x\)। पहले कुछ बहुपद: \(H_0 = 1\), \(H_1 = 2x\), \(H_2 = 4x^2 - 2\), \(H_4 = 16x^4 - 48x^2 + 12\), \(H_5 = 32x^5 - 160x^3 + 120x\)।

अगर n = 0 हो तो क्या होगा? हर x के लिए \(H_0(x) = 1\) होता है, इसलिए तालिका और ग्राफ ऊँचाई 1 पर एक सपाट रेखा होंगे।

बड़े n के लिए मान इतनी तेज़ी से क्यों बढ़ जाते हैं? बड़े क्रम और बड़े |x| के लिए हर्माइट बहुपद बेहद तेज़ी से बढ़ते हैं; डबल प्रिसिज़न लगभग 1e308 से आगे ओवरफ्लो हो सकता है। समझदारी भरे ग्राफ के लिए n और x की रेंज को छोटा रखें।

सममित x-परास पर H1 से H4 तक के वक्र, जो क्रम के साथ बढ़ते दोलन को दर्शाते हैं।