这个计算器能做什么
本工具按照物理学家约定的埃尔米特多项式 \(H_n(x)\)，对一个固定阶数 \(n\)、在一系列 \(x\) 取值上逐点求值，输出一张 \((x, H_n(x))\) 数值表并绘制对应曲线。埃尔米特多项式广泛出现在量子力学（谐振子的能量本征态）、概率论以及数值分析（高斯–埃尔米特求积）等领域。
使用方法
依次输入多项式的阶数 \(n\)（非负整数，如 0、1、2、3……）、x 的起始值、步长（相邻两个 \(x\) 之间的间隔）以及计算行数（要生成多少行）。第 \(i\) 个 \(x\) 值为 $$x_i = \text{起始值} + i \cdot \text{步长}$$ 其中 \(i\) 从 0 取到「行数减 1」。步长为负时表格按 \(x\) 递减排列；步长为零时则会重复同一个 \(x\) 值。
计算公式
这里采用的是物理学家约定的埃尔米特多项式，它满足微分方程 $$y'' - 2x \cdot y' + 2n \cdot y = 0$$ 并可由母函数 \(\exp(2xt - t^2)\) 生成。我们使用数值稳定的三项递推公式进行计算：$$H_0(x) = 1, \quad H_1(x) = 2x, \quad H_{k+1}(x) = 2x \cdot H_k(x) - 2k \cdot H_{k-1}(x)$$ 从而避免阶乘运算导致的数值溢出。请注意，这不是概率学家约定的 \(He_n(x)\)，后者的递推关系为 $$He_{k+1} = x \cdot He_k - k \cdot He_{k-1}$$
实例演算
当 \(n = 3\) 时，递推公式给出 \(H_2(x) = 4x^2 - 2\)，\(H_3(x) = 8x^3 - 12x\)。在 \(x = -2.5\) 处：$$8(-15.625) + 30 = -95$$在 \(x = 0\) 处结果为 0；在 \(x = 2.5\) 处则为 \(+95\)。若取起始值 \(= -2.5\)、步长 \(= 0.1\)、行数 \(= 51\)，表格将从 \((-2.5, -95)\) 经过 \((0, 0)\) 一直到 \((2.5, 95)\)，描绘出一条关于原点奇对称、呈三次曲线形状的图像。
常见问题
使用的是哪种约定？物理学家约定 \(H_n\)，其中 \(H_1(x) = 2x\)。前几项为：\(H_0 = 1\)，\(H_1 = 2x\)，\(H_2 = 4x^2 - 2\)，\(H_4 = 16x^4 - 48x^2 + 12\)，\(H_5 = 32x^5 - 160x^3 + 120x\)。
如果 \(n = 0\) 会怎样？对任意 \(x\) 都有 \(H_0(x) = 1\)，因此数值表和图像都是一条高度恒为 1 的水平线。
为什么 \(n\) 较大时数值会急剧膨胀？当阶数较高、\(|x|\) 较大时，埃尔米特多项式的增长极快；双精度浮点数在超过约 \(1 \times 10^{308}\) 后便会溢出。为获得合理的图像，请将 \(n\) 与 \(x\) 的取值范围控制在适度区间内。
