拉盖尔多项式数值表计算器

输入计算

n（阶数）

x 的起始值

增量（步长）

迭代次数（行数）

结果

Laguerre Polynomial L₃(x)

5.666667

value at the first x; 2.333333 at the last x · 51 rows

x	L3(x)
-1	5.666667
-0.9	5.0365
-0.8	4.445333
-0.7	3.892167
-0.6	3.376
-0.5	2.895833
-0.4	2.450667
-0.3	2.0395
-0.2	1.661333
-0.1	1.315167
0	1
0.1	0.714833
0.2	0.458667
0.3	0.2305
0.4	0.029333
0.5	-0.145833
0.6	-0.296
0.7	-0.422167
0.8	-0.525333
0.9	-0.6065
1	-0.666667
1.1	-0.706833
1.2	-0.728
1.3	-0.731167
1.4	-0.717333
1.5	-0.6875
1.6	-0.642667
1.7	-0.583833
1.8	-0.512
1.9	-0.428167
2	-0.333333
2.1	-0.2285
2.2	-0.114667
2.3	0.007167
2.4	0.136
2.5	0.270833
2.6	0.410667
2.7	0.5545
2.8	0.701333
2.9	0.850167
3	1
3.1	1.149833
3.2	1.298667
3.3	1.4455
3.4	1.589333
3.5	1.729167
3.6	1.864
3.7	1.992833
3.8	2.114667
3.9	2.2285
4	2.333333

什么是拉盖尔多项式数值表计算器？

本工具可在一系列 x 取值上列出并绘制拉盖尔多项式 L_n(x) 的数值与图像。拉盖尔多项式是微分方程 x·y'' + (1 - x)·y' + n·y = 0 的正交多项式解，在量子力学（氢原子波函数的径向部分）、数值积分（高斯-拉盖尔求积）以及信号处理等领域都有广泛应用。本计算器采用满足 L_n(0) = 1 的标准归一化形式。

前几个拉盖尔多项式 L_n(x) 在某区间上的曲线。

使用方法

只需输入四个数值：阶数 n（非负整数）、x 的起始值、相邻 x 之间的步长（增量），以及行数。计算器会依次生成 x = 起始值、起始值 + 步长、起始值 + 2·步长、…，并在每个点上求出 L_n(x)，最终返回一张两列数值表和一条折线图。

公式解析

计算器并不直接展开多项式，而是采用数值上更稳定的三项递推关系：L₀(x) = 1，L₁(x) = 1 - x，当 k ≥ 1 时，L_k+1(x) = ((2k + 1 - x)·L_k(x) - k·L_k-1(x)) / (k + 1)。这样每个点只需 O(n) 次运算。前几个多项式分别为 L₂(x) = 1 - 2x + x²/2 和 L₃(x) = 1 - 3x + 1.5x² - x³/6。

递推公式由前两个多项式构造出 L_{k+1}(x)。

计算实例

取 n = 3、x = -1：L₃(-1) = 1 + 3 + 1.5 + 0.16667 = 5.66667。用递推关系验证：L₀ = 1，L₁ = 2，L₂ = 3.5，L₃ = (6·3.5 - 2·2)/3 = 17/3 = 5.66667。当 x = 0 时，L₃(0) = 1；当 x = 1 时，L₃(1) = -0.66667。

常见问题

采用了哪种归一化？本工具使用满足 L_n(0) = 1 的标准形式，而非某些参考资料中未归一化的 n!·L_n(x)。

如果 n = 0 会怎样？此时 L₀(x) = 1 在任意位置都成立，即一条水平直线。当 n = 1 时，结果为直线 1 - x。

n 最大能取到多少？该递推关系在 n 适中时数值稳定。但当 n 非常大或 |x| 很大时，函数值会迅速增长，最终可能出现浮点数溢出。