Qu'est-ce que le calculateur de table des polynômes de Laguerre ?
Cet outil tabule et trace le polynôme de Laguerre \(L_n(x)\) sur une suite de valeurs de x. Les polynômes de Laguerre sont les solutions, sous forme de polynômes orthogonaux, de l'équation différentielle \(x\cdot y'' + (1 - x)\cdot y' + n\cdot y = 0\). On les retrouve un peu partout en mécanique quantique (la partie radiale de l'atome d'hydrogène), en intégration numérique (la quadrature de Gauss-Laguerre) et en traitement du signal. Ce calculateur utilise la normalisation standard, avec \(L_n(0) = 1\).
Comment l'utiliser
Renseignez quatre nombres : l'ordre n (un entier positif ou nul), la valeur initiale de x, le pas (incrément) entre deux valeurs successives de x, et le nombre de lignes. Le calculateur génère \(x = \text{startX},\ \text{startX} + \text{stepX},\ \text{startX} + 2\cdot\text{stepX},\ \ldots\) et évalue \(L_n(x)\) en chacun de ces points, puis renvoie un tableau à deux colonnes accompagné d'un graphique en ligne.
La formule expliquée
Plutôt que de développer le polynôme, le calculateur s'appuie sur la relation de récurrence à trois termes, numériquement stable :
$$L_n(x_i),\quad x_i = \text{Start } x + i\cdot\text{Step},\quad i = 0,\dots,\text{Rows}-1$$$$\text{où}\quad \left\{ \begin{aligned} L_0(x) &= 1 \\ L_1(x) &= 1 - x \\ L_{k+1}(x) &= \frac{(2k+1-x)\,L_k(x) - k\,L_{k-1}(x)}{k+1} \end{aligned} \right.$$Le calcul ne nécessite ainsi qu'un travail en \(O(n)\) par point. Les premiers polynômes valent \(L_2(x) = 1 - 2x + x^2/2\) et \(L_3(x) = 1 - 3x + 1.5x^2 - x^3/6\).
Exemple détaillé
Pour \(n = 3\) et \(x = -1\) :
$$L_3(-1) = 1 + 3 + 1.5 + 0.16667 = 5.66667$$Vérification à l'aide de la récurrence : \(L_0 = 1\), \(L_1 = 2\), \(L_2 = 3.5\),
$$L_3 = \frac{6\cdot 3.5 - 2\cdot 2}{3} = \frac{17}{3} = 5.66667$$En \(x = 0\), \(L_3(0) = 1\) ; en \(x = 1\), \(L_3(1) = -0.66667\).
FAQ
Quelle normalisation est utilisée ? La forme standard, avec \(L_n(0) = 1\), et non la version non normalisée \(n!\cdot L_n(x)\) que l'on rencontre dans certaines références.
Et si n = 0 ? \(L_0(x) = 1\) partout, soit une droite horizontale. Pour \(n = 1\), on obtient la droite \(1 - x\).
Jusqu'où peut aller n ? La récurrence reste stable pour des valeurs modérées de n. Pour des n très grands ou des \(|x|\) élevés, les valeurs croissent rapidement et un dépassement de capacité en virgule flottante peut finir par survenir.
