什么是第二类切比雪夫多项式？
第二类切比雪夫多项式记作 \(U_n(x)\)，是一族正交多项式，在逼近论、数值分析和物理学中应用十分广泛。这是一款纯数学工具：它在世界各地的计算结果完全一致，不涉及任何国家或地区的规则限制。本计算器会在你选定的 x 范围内生成 \(U_n(x)\) 的数值表，并将对应的曲线绘制出来，方便直观查看。
使用方法
依次输入阶数 n（非负整数）、x 的初始值、步长（相邻两个 x 之间的间隔）以及取样点数（需要生成多少个采样点）。数值表将按照 x = 起始值、起始值 + 步长、起始值 + \(2\times\)步长……依次计算。在默认设置下（n = 3，起始值 = -1，步长 = 0.02，101 个点），x 将从 -1 取到 1.00。
公式解析
三角形式 $$U_n(\cos\theta) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}$$ 在 \(x = \pm 1\) 处会出现除以零的情况，因此本工具并未采用它，而是使用更稳定的三项递推公式：\(U_0(x) = 1\)，\(U_1(x) = 2x\)，以及 $$U_k(x) = 2x\cdot U_{k-1}(x) - U_{k-2}(x)$$ 该递推式对任意实数 x 都精确成立，并能在 \(|x| > 1\) 时让函数值自然增长。这些多项式满足常微分方程 $$(1 - x^2)y'' - 3xy' + n(n+2)y = 0$$
实例演算
当 n = 3 时，其封闭形式为 \(U_3(x) = 8x^3 - 4x\)。取 \(x = 0.5\)：\(U_0 = 1\)，\(U_1 = 1\)，\(U_2 = 2(0.5)(1) - 1 = 0\)，\(U_3 = 2(0.5)(0) - 1 = -1\)。用封闭形式验证：\(8(0.125) - 4(0.5) = 1 - 2 = -1\)，结果一致。在端点处，\(U_n(1) = n+1\)，所以 \(U_3(1) = 4\)；而 \(U_n(-1) = (-1)^n(n+1)\)，所以 \(U_3(-1) = -4\)。
常见问题
前几项多项式分别是什么？ \(U_0 = 1\)，\(U_1 = 2x\)，\(U_2 = 4x^2 - 1\)，\(U_3 = 8x^3 - 4x\)，\(U_4 = 16x^4 - 12x^2 + 1\)。
x 可以取 [-1, 1] 之外的值吗？ 可以。该多项式对所有实数 x 都有定义；递推公式能够干净地处理 \(|x| > 1\) 的情形，只是函数值会快速增大。
如果 n 不是整数会怎样？ 阶数会向下取整为非负整数；若输入负值，则会被强制设为 0。
