제2종 체비쇼프 다항식 U_n(x) 표·그래프 계산기

계산 입력

n (차수)

x의 시작값

증분

반복 횟수

결과

U₃(x) at x = -1

-4

제2종 체비쇼프 다항식

차수 n	3
시작 x	-1
증분	0.02
표본점 개수	101

x	U3(x)
-1	-4
-0.98	-3.609536
-0.96	-3.237888
-0.94	-2.884672
-0.92	-2.549504
-0.9	-2.232
-0.88	-1.931776
-0.86	-1.648448
-0.84	-1.381632
-0.82	-1.130944
-0.8	-0.896
-0.78	-0.676416
-0.76	-0.471808
-0.74	-0.281792
-0.72	-0.105984
-0.7	0.056
-0.68	0.204544
-0.66	0.340032
-0.64	0.462848
-0.62	0.573376
-0.6	0.672
-0.58	0.759104
-0.56	0.835072
-0.54	0.900288
-0.52	0.955136
-0.5	1
-0.48	1.035264
-0.46	1.061312
-0.44	1.078528
-0.42	1.087296
-0.4	1.088
-0.38	1.081024
-0.36	1.066752
-0.34	1.045568
-0.32	1.017856
-0.3	0.984
-0.28	0.944384
-0.26	0.899392
-0.24	0.849408
-0.22	0.794816
-0.2	0.736
-0.18	0.673344
-0.16	0.607232
-0.14	0.538048
-0.12	0.466176
-0.1	0.392
-0.08	0.315904
-0.06	0.238272
-0.04	0.159488
-0.02	0.079936
0	-0
0.02	-0.079936
0.04	-0.159488
0.06	-0.238272
0.08	-0.315904
0.1	-0.392
0.12	-0.466176
0.14	-0.538048
0.16	-0.607232
0.18	-0.673344
0.2	-0.736
0.22	-0.794816
0.24	-0.849408
0.26	-0.899392
0.28	-0.944384
0.3	-0.984
0.32	-1.017856
0.34	-1.045568
0.36	-1.066752
0.38	-1.081024
0.4	-1.088
0.42	-1.087296
0.44	-1.078528
0.46	-1.061312
0.48	-1.035264
0.5	-1
0.52	-0.955136
0.54	-0.900288
0.56	-0.835072
0.58	-0.759104
0.6	-0.672
0.62	-0.573376
0.64	-0.462848
0.66	-0.340032
0.68	-0.204544
0.7	-0.056
0.72	0.105984
0.74	0.281792
0.76	0.471808
0.78	0.676416
0.8	0.896
0.82	1.130944
0.84	1.381632
0.86	1.648448
0.88	1.931776
0.9	2.232
0.92	2.549504
0.94	2.884672
0.96	3.237888
0.98	3.609536
1	4

제2종 체비쇼프 다항식이란?

제2종 체비쇼프 다항식은 \(U_n(x)\)로 표기하며, 근사 이론과 수치해석, 물리학 전반에 두루 등장하는 직교 다항식 계열입니다. 이 계산기는 순수 수학 도구로, 특정 국가나 법규에 얽매이지 않고 어디서나 동일하게 작동합니다. 선택한 x 범위에서 \(U_n(x)\)의 값을 표로 만들어 주고, 그 결과 곡선을 시각적으로 확인할 수 있습니다.

구간 [-1, 1]에서 U_0부터 U_4까지의 그래프.

사용 방법

차수 n(0 이상의 정수), x의 시작값, 증분(연속된 x 값 사이의 간격), 반복 횟수(생성할 표본점의 개수)를 입력하세요. 표는 \(x = \text{startX},\ \text{startX} + \text{stepX},\ \text{startX} + 2 \times \text{stepX} \dots\) 순서로 만들어집니다. 기본값(n = 3, 시작 = -1, 간격 = 0.02, 101개 점)을 사용하면 x가 -1부터 1.00까지 진행됩니다.

공식 설명

삼각함수 형태인 $$U_n(\cos\theta) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}$$ 는 \(x = \pm 1\)에서 0으로 나누는 문제가 생깁니다. 그래서 이 도구는 안정적인 3항 점화식을 사용합니다: \(U_0(x) = 1\), \(U_1(x) = 2x\), 그리고 $$U_k(x) = 2x \cdot U_{k-1}(x) - U_{k-2}(x).$$ 이 점화식은 모든 실수 x에 대해 정확하며, \(|x| > 1\) 인 경우에도 값이 자연스럽게 커집니다. 이 다항식은 미분방정식 $$(1 - x^2)y'' - 3xy' + n(n+2)y = 0$$ 을 만족합니다.

안정적인 삼항 점화식은 이전 두 항으로부터 U_k를 만든다.

예제 풀이

n = 3 일 때 닫힌 형태는 \(U_3(x) = 8x^3 - 4x\) 입니다. x = 0.5 에서: \(U_0 = 1\), \(U_1 = 1\), \(U_2 = 2(0.5)(1) - 1 = 0\), \(U_3 = 2(0.5)(0) - 1 = -1\). 닫힌 형태로 계산하면 \(8(0.125) - 4(0.5) = 1 - 2 = -1\) 로 일치합니다. 양 끝점에서는 \(U_n(1) = n+1\) 이므로 \(U_3(1) = 4\) 이고, \(U_n(-1) = (-1)^n(n+1)\) 이므로 \(U_3(-1) = -4\) 입니다.

자주 묻는 질문

처음 몇 개의 다항식은 무엇인가요? \(U_0 = 1\), \(U_1 = 2x\), \(U_2 = 4x^2 - 1\), \(U_3 = 8x^3 - 4x\), \(U_4 = 16x^4 - 12x^2 + 1\) 입니다.

x가 [-1, 1] 범위를 벗어나도 되나요? 됩니다. 이 다항식은 모든 실수 x에 대해 정의되며, 점화식은 \(|x| > 1\) 인 경우도 문제없이 처리합니다. 다만 값이 빠르게 커집니다.

n이 정수가 아니면 어떻게 되나요? 차수는 0 이상의 정수로 내림 처리되며, 음수 값은 0으로 고정됩니다.