什麼是第二類切比雪夫多項式？
第二類切比雪夫多項式（記作 \(U_n(x)\)）是一族正交多項式，廣泛出現在逼近理論、數值分析與物理學中。這是一個純數學工具：在任何地方的運算結果都完全相同，不受任何國家或法規限制。本計算器會在你指定的 x 範圍內建立 \(U_n(x)\) 的數值表，並讓你以圖形觀察其曲線變化。
使用方式
輸入階數 n（非負整數）、x 的起始值、增量（相鄰 x 值之間的間距），以及取樣點數（要產生多少個取樣點）。數值表會依序針對 x = 起始值、起始值 + 增量、起始值 + 2×增量……計算下去。在預設值（n = 3、起始值 = -1、增量 = 0.02、101 個點）之下，x 會從 -1 跑到 1.00。
公式說明
三角形式 $$U_n(\cos\theta) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}$$ 會在 \(x = \pm 1\) 時發生除以零的問題，因此本工具改用穩定的三項遞迴式：\(U_0(x) = 1\)、\(U_1(x) = 2x\)，以及 $$U_k(x) = 2x\cdot U_{k-1}(x) - U_{k-2}(x)$$ 此遞迴式對任何實數 x 都精確成立，並能讓 \(|x| > 1\) 時的數值自然增長。這些多項式滿足常微分方程式 $$(1 - x^2)y'' - 3xy' + n(n+2)y = 0$$
範例演算
當 n = 3 時，封閉形式為 $$U_3(x) = 8x^3 - 4x$$ 取 \(x = 0.5\)：\(U_0 = 1\)、\(U_1 = 1\)、\(U_2 = 2(0.5)(1) - 1 = 0\)、\(U_3 = 2(0.5)(0) - 1 = -1\)。封閉形式同樣得到 \(8(0.125) - 4(0.5) = 1 - 2 = -1\)。在端點處，\(U_n(1) = n+1\)，故 \(U_3(1) = 4\)；而 \(U_n(-1) = (-1)^n(n+1)\)，故 \(U_3(-1) = -4\)。
常見問題
前幾個多項式長什麼樣子？\(U_0 = 1\)、\(U_1 = 2x\)、\(U_2 = 4x^2 - 1\)、\(U_3 = 8x^3 - 4x\)、\(U_4 = 16x^4 - 12x^2 + 1\)。
x 可以超出 [-1, 1] 的範圍嗎？可以。這個多項式對所有實數 x 都有定義；遞迴式能妥善處理 \(|x| > 1\) 的情況，只是數值會快速增長。
如果 n 不是整數怎麼辦？階數會向下取整為非負整數；若輸入負值則會被限制為 0。
