Đa thức Chebyshev loại hai là gì?
Đa thức Chebyshev loại hai, ký hiệu \(U_n(x)\), là một họ đa thức trực giao xuất hiện rộng rãi trong lý thuyết xấp xỉ, giải tích số và vật lý. Đây là công cụ toán học thuần túy: nó cho kết quả như nhau ở mọi nơi và không gắn với bất kỳ quốc gia hay quy định pháp lý nào. Máy tính này dựng bảng giá trị của \(U_n(x)\) trên một khoảng x do bạn chọn và giúp bạn hình dung đường cong tương ứng.
Cách sử dụng
Nhập bậc n (một số nguyên không âm), giá trị x ban đầu, bước nhảy (khoảng cách giữa các giá trị x liên tiếp) và số điểm (số điểm mẫu cần tạo). Bảng được lập cho \(x = x_{\text{đầu}},\ x_{\text{đầu}} + \text{bước},\ x_{\text{đầu}} + 2 \times \text{bước}\), và cứ thế tiếp tục. Với giá trị mặc định (n = 3, x đầu = -1, bước = 0,02, 101 điểm), x chạy từ -1 đến 1,00.
Giải thích công thức
Thay vì dùng dạng lượng giác $$U_n(\cos\theta) = \frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin\theta}$$ (vốn bị chia cho 0 tại \(x = \pm 1\)), công cụ này áp dụng công thức truy hồi ba số hạng ổn định: \(U_0(x) = 1\), \(U_1(x) = 2x\), và $$U_k(x) = 2x\cdot U_{k-1}(x) - U_{k-2}(x).$$ Công thức truy hồi này chính xác với mọi số thực x và để các giá trị tăng lên một cách tự nhiên khi \(|x| > 1\). Các đa thức này thỏa phương trình vi phân $$(1 - x^2)y'' - 3xy' + n(n+2)y = 0.$$
Ví dụ minh họa
Với n = 3, dạng tường minh là \(U_3(x) = 8x^3 - 4x\). Tại \(x = 0{,}5\): \(U_0 = 1\), \(U_1 = 1\), \(U_2 = 2(0{,}5)(1) - 1 = 0\), \(U_3 = 2(0{,}5)(0) - 1 = -1\). Dạng tường minh cho \(8(0{,}125) - 4(0{,}5) = 1 - 2 = -1\). Tại hai đầu mút, \(U_n(1) = n+1\) nên \(U_3(1) = 4\), và \(U_n(-1) = (-1)^n(n+1)\) nên \(U_3(-1) = -4\).
Câu hỏi thường gặp
Vài đa thức đầu tiên là gì? \(U_0 = 1\), \(U_1 = 2x\), \(U_2 = 4x^2 - 1\), \(U_3 = 8x^3 - 4x\), \(U_4 = 16x^4 - 12x^2 + 1\).
x có thể nằm ngoài khoảng [-1, 1] không? Có. Đa thức được định nghĩa với mọi số thực x; công thức truy hồi xử lý trường hợp \(|x| > 1\) một cách gọn gàng, dù các giá trị tăng rất nhanh.
Nếu n không phải số nguyên thì sao? Bậc sẽ được làm tròn xuống thành số nguyên không âm; các giá trị âm được đưa về 0.
