계산 입력

결과

C₃^λ(x) at x = -1 (λ = 2)

-20

Generated 101 rows of (x, C_n^λ(x))

x	C₃^λ(x)
-1	-20
-0.98	-18.358144
-0.96	-16.791552
-0.94	-15.298688
-0.92	-13.878016
-0.9	-12.528
-0.88	-11.247104
-0.86	-10.033792
-0.84	-8.886528
-0.82	-7.803776
-0.8	-6.784
-0.78	-5.825664
-0.76	-4.927232
-0.74	-4.087168
-0.72	-3.303936
-0.7	-2.576
-0.68	-1.901824
-0.66	-1.279872
-0.64	-0.708608
-0.62	-0.186496
-0.6	0.288
-0.58	0.716416
-0.56	1.100288
-0.54	1.441152
-0.52	1.740544
-0.5	2
-0.48	2.221056
-0.46	2.405248
-0.44	2.554112
-0.42	2.669184
-0.4	2.752
-0.38	2.804096
-0.36	2.827008
-0.34	2.822272
-0.32	2.791424
-0.3	2.736
-0.28	2.657536
-0.26	2.557568
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-0.16	1.788928
-0.14	1.592192
-0.12	1.384704
-0.1	1.168
-0.08	0.943616
-0.06	0.713088
-0.04	0.477952
-0.02	0.239744
0	-0
0.02	-0.239744
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0.94	15.298688
0.96	16.791552
0.98	18.358144
1	20

게겐바우어(초구면) 다항식이란?

게겐바우어 다항식은 초구면(ultraspherical) 다항식이라고도 불리며, 르장드르 다항식과 체비쇼프 다항식을 모두 일반화하는 직교 다항식 모임 $C_{n}^{\lambda}(x)$입니다. 가중치 $(1 - x^{2})^{\lambda-1/2}$에 대해 구간 [-1, 1]에서 직교성을 가집니다. 이 계산기는 여러 x 값에 대한 $C_{n}^{\lambda}(x)$를 한 번에 계산해 (x, 값) 쌍으로 이루어진 표와 선 그래프를 만들어 주므로, 다항식의 모양·근·진동 양상을 한눈에 살펴볼 수 있습니다.

마이너스 1에서 1까지 구간에서 여러 게겐바우어 다항식 곡선의 선 그래프 — 구간 [-1, 1]에서 여러 차수 n에 대해 그린 게겐바우어 다항식 C_n^lambda(x).

사용 방법

차수 n(0 이상의 정수), 매개변수 λ(실수이며, 표준 직교성을 위해서는 $\lambda > -1/2$), x의 초깃값, 증분(연속된 x 값 사이의 간격), 반복 횟수(생성할 행 수)를 입력하세요. 계산기는 $i = 0 \dots \text{count}-1$에 대해 $$x_i = \text{초깃값} + i\cdot\text{증분}$$ 을 차례로 구하고 각 지점에서 다항식 값을 계산합니다. 기본값(n=3, λ=2, x는 -1부터, 간격 0.02, 101행)은 -1부터 +1까지 직교성 구간 전체를 훑습니다.

공식 설명

감마 함수나 초기하 함수 형태 대신, 이 계산기는 수치적으로 안정적인 3항 점화식을 사용합니다. $C_{0}^{\lambda}(x) = 1$, $C_{1}^{\lambda}(x) = 2\lambda x$ 이고, $k = 2 \dots n$ 에 대해 $$C_{k}^{\lambda}(x) = \frac{2x(k+\lambda-1)\,C_{k-1}^{\lambda}(x) - (k+2\lambda-2)\,C_{k-2}^{\lambda}(x)}{k}$$ 입니다. 특수한 경우로, $\lambda = 1/2$ 이면 르장드르 다항식 $P_{n}$이 되고, $\lambda = 1$ 이면 제2종 체비쇼프 다항식 $U_{n}$이 됩니다.

연속된 세 다항식 항을 잇는 삼항 점화 관계 다이어그램 — 점화식은 각 항 C_k를 이전 두 항 C_{k-1}과 C_{k-2}로부터 구성합니다.

계산 예시

n=3, λ=2 일 때 점화식을 적용하면 $$C_{3}^{2}(x) = 32x^{3} - 12x$$ 가 됩니다. $x = -1$ 에서는 $32(-1) - 12(-1) = -32 + 12 = -20$ 으로, 표의 첫 번째 행 값이 됩니다. $x = 0$ 에서는 0, $x = 0.5$ 에서는 $32(0.125) - 6 = -2$, $x = 1$ 에서는 $32 - 12 = 20$ 입니다.

자주 묻는 질문

[-1, 1] 밖에서도 다항식이 정의되나요? 네. 이 다항식은 모든 실수 x에 대해 정의됩니다. [-1, 1] 구간은 직교성(그리고 기본 그래프 범위)이 성립하는 곳일 뿐입니다. 이 구간 밖에서는 n이 클수록 값이 급격히 커집니다.

λ = 0 일 때는 어떻게 되나요? 이는 퇴화된 초구면 경우입니다. 점화식이 무너지므로, 계산기는 $C_{0} = 1$, 그리고 $n \ge 1$ 에 대해 $C_{n} = 0$ 을 반환합니다. 의미 있는 극한은 제1종 체비쇼프 다항식과 연결되며, $$\lim_{\lambda\to 0} \frac{C_{n}^{\lambda}(x)}{\lambda} = \frac{2}{n} T_{n}(x)$$ 로 주어집니다.

행을 몇 개까지 만들 수 있나요? 1 이상의 값이면 무엇이든 가능합니다. 다만 응답 속도를 위해 지나치게 큰 요청은 상한이 적용됩니다. 증분은 0이어도 되지만(모든 행이 같은 x를 공유) 보통은 양수로 설정합니다.

게겐바우어(초구면) 다항식 계산기