ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تحسب هذه الأداة متعددة حدود إرميت وفق صيغة الفيزيائيين \(H_n(x)\) عند رتبة واحدة ثابتة \(n\) على امتداد متتالية من قيم \(x\)، ثم تُخرج جدولًا بأزواج \((x,\,H_n(x))\) وترسم المنحنى. تظهر متعددات حدود إرميت في مواضع كثيرة من فيزياء الكم (الحالات الذاتية للطاقة في المتذبذب التوافقي)، وفي نظرية الاحتمالات، وفي التحليل العددي (تكامل غاوس–إرميت).
طريقة الاستخدام
أدخل رتبة متعددة الحدود n (عدد صحيح غير سالب مثل 0، 1، 2، 3، ...)، والقيمة الابتدائية لـ x، ومقدار الزيادة (الخطوة بين كل قيمة x والتي تليها)، وعدد التكرارات (عدد الصفوف المطلوب توليدها). تُعطى القيمة x رقم i بالعلاقة $$x_i = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}$$ حيث \(i\) من 0 إلى count-1. وتُنتج الزيادة السالبة جدولًا تنازليًا، بينما تكرر الزيادة الصفرية القيمة x نفسها.
الصيغة الرياضية
هذه هي متعددات حدود إرميت وفق صيغة الفيزيائيين، وهي تحقق المعادلة التفاضلية \(y'' - 2x \cdot y' + 2n \cdot y = 0\) وتُولَّد من الدالة \(\exp(2xt - t^2)\). نحسبها باستخدام علاقة التكرار المستقرة ذات الحدود الثلاثة: $$H_0(x) = 1, \quad H_1(x) = 2x, \quad H_{k+1}(x) = 2x \cdot H_k(x) - 2k \cdot H_{k-1}(x).$$ وهذا يتجنب طفحان قيم المضروب. لاحظ أن هذه ليست متعددات حدود الاحتماليين \(He_n(x)\) التي تستخدم العلاقة \(He_{k+1} = x \cdot He_k - k \cdot He_{k-1}\).
مثال محلول
عند \(n = 3\) تعطي علاقة التكرار \(H_2(x) = 4x^2 - 2\) و\(H_3(x) = 8x^3 - 12x\). وعند \(x = -2.5\): $$8(-15.625) + 30 = -95.$$ وعند \(x = 0\) تكون القيمة 0، وعند \(x = 2.5\) تكون +95. وباستخدام startX = −2.5 وstepX = 0.1 و51 تكرارًا، يمتد الجدول من \((-2.5,\,-95)\) مرورًا بـ \((0,\,0)\) وصولًا إلى \((2.5,\,95)\)، راسمًا منحنى تكعيبي الشكل ذا تماثل فردي.
الأسئلة الشائعة
أي صيغة اصطلاحية مُستخدَمة؟ صيغة الفيزيائيين \(H_n\)، حيث \(H_1(x) = 2x\). وأول الحدود هي: \(H_0 = 1\)، \(H_1 = 2x\)، \(H_2 = 4x^2 - 2\)، \(H_4 = 16x^4 - 48x^2 + 12\)، \(H_5 = 32x^5 - 160x^3 + 120x\).
ماذا لو كانت n = 0؟ تكون \(H_0(x) = 1\) لأي قيمة \(x\)، فيكون الجدول والمنحنى خطًا مستقيمًا أفقيًا عند الارتفاع 1.
لماذا تنفجر القيم عند n الكبيرة؟ تنمو متعددات حدود إرميت بسرعة هائلة عند الرتب الكبيرة وقيم \(|x|\) الكبيرة؛ وقد يحدث طفحان في دقة الفاصلة العائمة المزدوجة فوق نحو \(1\mathrm{e}308\) تقريبًا. لذا حافظ على قيم \(n\) ومجال \(x\) معتدلة للحصول على رسوم منطقية.
