ما هي حاسبة جدول كثيرات حدود لجاندر المرتبطة؟
تحسب هذه الأداة جدولاً بقيم دالة لجاندر المرتبطة \(P_n^m(x)\) (بدرجة \(n\) ورتبة \(m\)) عبر مجال تختاره من قيم \(x\)، ثم ترسم المنحنى المقابل. إنها أداة رياضية صرفة تنطبق على نحو واحد في كل مكان، دون وحدات قياس أو افتراضات خاصة ببلد بعينه. وتظهر كثيرات حدود لجاندر المرتبطة في كل أنحاء الفيزياء والرياضيات التطبيقية: في التوافقيات الكروية، وحل معادلة لابلاس في الإحداثيات الكروية، ومفكوكات الأقطاب المتعددة، وميكانيكا الكم للزخم الزاوي.
طريقة الاستخدام
أدخِل الدرجة الصحيحة \(n\) (0، 1، 2، ...) والرتبة الصحيحة \(m\) بحيث \(-n \le m \le n\). ثم اختر قيمة البداية لـ \(x\) (بين \(-1\) و\(1\))، ومقدار الخطوة، وعدد الصفوف. القيم الافتراضية \(n = 2\) و\(m = 1\) والبداية \(-1\) والخطوة \(0.02\) و101 صف، وهي تمسح \(x\) من \(-1\) إلى \(+1\) شاملاً الطرفين. اختر النوع A (اصطلاح Wolfram) أو النوع B (اصطلاح Maple)؛ فبالنسبة لقيم \(x\) الحقيقية في المجال \((-1, 1)\) يتطابقان في المقدار ولا يختلفان إلا بإشارة أو طور في المعامل الأمامي.
شرح الصيغة
من أجل قيم \(n\) الصحيحة و\(0 \le m \le n\) نستخدم $$P_n^m(x) = (-1)^m\,(1-x^2)^{m/2}\,\frac{d^m}{dx^m}P_n(x)$$ ويُحسب ذلك بعلاقة تكرارية مستقرة عددياً: \(P_m^m = (-1)^m(2m-1)!!(1-x^2)^{m/2}\)، ثم \(P_{m+1}^m = x(2m+1)P_m^m\)، وبعدها \((l-m)P_l^m = (2l-1)x\,P_{l-1}^m - (l+m-1)P_{l-2}^m\). وفي حالة \(m\) السالبة يكون \(P_n^{-m} = (-1)^m\dfrac{(n-m)!}{(n+m)!}P_n^m\). وتتجنب هذه العلاقة التكرارية المغلقة الانفجار العددي لدالة غاما الذي يصاحب الصيغة الحرفية \({}_2F_1\) عند قيم \(m\) الصحيحة الموجبة.
مثال محلول
عند \(n = 2\) و\(m = 1\) تصبح الدالة $$P_2^1(x) = -3x\sqrt{1-x^2}$$ فعند \(x = 0\) تكون القيمة 0؛ وعند \(x = 0.5\) تساوي \(-3(0.5)(0.866025) = -1.299038\)؛ وعند \(x = -0.5\) تساوي \(+1.299038\). يبدأ المنحنى من الصفر (عند \(x = -1\))، ويرتفع إلى نحو \(+1.1547\) قرب \(x = -0.577\)، ويعبر الصفر عند \(x = 0\)، ثم يهبط إلى نحو \(-1.1547\) قرب \(x = +0.577\)، ويعود إلى الصفر عند \(x = +1\).
دوال لوجندر المصاحبة بصيغة مغلقة P_n^m(x)
دوال لوجندر المصاحبة \(P_n^m(x)\) للدرجة الصحيحة \(n\) والرتبة \(0\le m\le n\) تتبع من \(P_n^m(x)=(-1)^m(1-x^2)^{m/2}\dfrac{d^m}{dx^m}P_n(x)\). العامل \((-1)^m\) هو طور كوندون-شورتلي المضمن في اتفاقية النوع أ (المطابقة لـ Wolfram)؛ اتفاقية النوع ب (Maple) تحذفه، لذلك تختلف إدخالاتها الفردية-\(m\) فقط في الإشارة. الجدول أدناه يسرد الأشكال الصريحة بموجب النوع أ.
| \(n\) | \(m\) | \(P_n^m(x)\) (النوع أ، مع الإشارة) |
|---|---|---|
| 0 | 0 | \(1\) |
| 1 | 0 | \(x\) |
| 1 | 1 | \(-\sqrt{1-x^2}\) |
| 2 | 0 | \(\tfrac{1}{2}(3x^2-1)\) |
| 2 | 1 | \(-3x\sqrt{1-x^2}\) |
| 2 | 2 | \(3(1-x^2)\) |
| 3 | 0 | \(\tfrac{1}{2}(5x^3-3x)\) |
| 3 | 1 | \(-\tfrac{3}{2}(5x^2-1)\sqrt{1-x^2}\) |
| 3 | 2 | \(15x(1-x^2)\) |
| 3 | 3 | \(-15(1-x^2)^{3/2}\) |
كفحص يدوي، عند \(x=0.5\) الإدخال \(P_2^1\) يعطي \(-3(0.5)\sqrt{1-0.25}=-1.5\sqrt{0.75}=\) -1.299038. العمود \(m=0\) يعيد إنتاج متعددات حدود لوجندر العادية Legendre polynomials \(P_n(x)\)، على سبيل المثال \(P_3^0(x)=\tfrac12(5x^3-3x)\)، والتي يمكن جدولتها باستخدام حاسبة جدول متعددة حدود لوجندر.
المصطلحات والمتغيرات الأساسية
- الدرجة \(n\)
-
عدد صحيح غير سالب (
degreeN) يحدد رتبة متعددة حدود لوجندر الأساسية \(P_n(x)\)، وهي متعددة حدود من الدرجة \(n\). - الرتبة \(m\)
-
عدد صحيح (
orderM) يتحكم في عدد المشتقات المأخوذة. للحصول على نتائج حقيقية على \((-1,1)\) يُستخدم عادة \(0\le m\le n\)؛ عندما \(m>n\) تكون الدالة مساوية للصفر بشكل متطابق لأن المشتقة من الدرجة \(m\) لمتعددة حدود من الدرجة \(n\) تختفي. - الحجة \(x\)
-
نقطة التقييم (
initialXإضافة \(i\cdot\)stepX). الدوال حقيقية للـ \(-1\le x\le 1\)؛ في الفيزياء \(x=\cos\theta\). - النوع أ (Wolfram / كوندون-شورتلي)
-
يتضمن عامل الطور \((-1)^m\). هذه هي الاتفاقية المستخدمة من قبل
LegendrePلـ Wolfram والنصوص الكمية القياسية. - النوع ب (Maple)
- يحذف طور \((-1)^m\)، لذلك \(P_n^m\) (النوع ب) \(=(-1)^m\,P_n^m\) (النوع أ). المقادير متطابقة؛ فقط إشارة الإدخالات الفردية-\(m\) تختلف.
- المضروب المزدوج \((2m-1)!!\)
- حاصل ضرب الأعداد الفردية \((2m-1)(2m-3)\cdots 3\cdot 1\)، مع \((-1)!!=1\). يظهر في معامل الرتبة الأولى \(P_m^m(x)=(-1)^m(2m-1)!!\,(1-x^2)^{m/2}\)؛ على سبيل المثال \(P_3^3\) يستخدم \(5!!=15\). انظر حاسبة المضروب المزدوج للحصول على هذه القيم.
- علاقة الرتبة السالبة
- بالنسبة لـ \(m>0\)، \(P_n^{-m}(x)=(-1)^m\dfrac{(n-m)!}{(n+m)!}\,P_n^{m}(x)\)، وربط الرتب الموجبة والسالبة من خلال المضاريب.
تفسير الجدول والرسم البياني
عدة خصائص هيكلية تسمح لك بفحص صحة القيم الجدولية والمنحنى المرسوم:
- التماثل. \(P_n^m(-x)=(-1)^{n+m}P_n^m(x)\). عندما يكون \(n+m\) زوجياً، يكون الرسم البياني متماثلاً حول \(x=0\)؛ عندما يكون \(n+m\) فردياً يكون غير متماثل (وبالتالي يمر عبر الأصل).
- الأصفار في الداخل. على المجال المفتوح \((-1,1)\)، \(P_n^m(x)\) له بالضبط \(n-m\) أصفار بسيطة. على سبيل المثال \(P_3^1\) له صفرين داخليين، بينما \(P_n^n\) ليس له أي.
- السلوك عند نقاط النهاية. بسبب العامل \((1-x^2)^{m/2}\)، كل دالة مع \(m>0\) تختفي عند \(x=\pm 1\). بالنسبة لـ \(m=0\) القيم هي \(P_n(1)=1\) و \(P_n(-1)=(-1)^n\).
- المقدار بالقرب من الأطراف. بالنسبة للـ \(m\) الأعلى، عامل \((1-x^2)^{m/2}\) يقمع المنحنى بشكل حاد مع \(x\to\pm1\)، لذلك أكبر التذبذبات تحدث نحو منتصف النطاق.
هذه الدوال هي الجزء المعتمد على \(\theta\) من التوافقيات الكروية \(Y_n^m(\theta,\phi)\): بكتابة \(x=\cos\theta\)، يكون لدينا \(Y_n^m\propto P_n^m(\cos\theta)\,e^{im\phi}\). تصبح الأصفار الداخلية الدوائر العقدية من خطوط العرض، ويتوافق اختفاء النقطة النهائية \(m>0\) مع ميل التوافقيات إلى الصفر عند الأقطاب. وبالتالي، فإن نفس قيم \(P_n^m\) تغذي مباشرة تقييم التوافقيات الكروية عند \(\theta\) و \(\phi\) مختارة.
الأسئلة الشائعة
لماذا يجب أن تكون n وm عددين صحيحين؟ تتطلب الصيغة الكثير حدودية المنتهية أن يكون \(n\) عدداً صحيحاً غير سالب؛ كما تتطلب العلاقة التكرارية وعوامل \((n\pm m)!\) أن يكون \(m\) عدداً صحيحاً مع \(-n \le m \le n\).
ما القيمة النموذجية المعروضة؟ يعرض المربع الرئيسي قيمة \(x\) وقيمة \(P_n^m(x)\) عند الصف الأوسط من الجدول (الفهرس الوسيط)، وهي تحقق سريع للمنحنى.
ماذا تعطي القيمة m = 0؟ تكون \(P_n^0(x)\) هي كثيرة حدود لجاندر العادية \(P_n(x)\).
