ماذا تفعل هذه الحاسبة
تعكس حاسبة كثيرة الحدود من الجذور المسألة المعتادة لإيجاد الجذور: فبدلًا من البحث عن أصفار كثيرة الحدود، تقوم ببناء كثيرة الحدود انطلاقًا من جذورها التي تعرفها مسبقًا. تكفي أن تُدخل مجموعة من الجذور الحقيقية ومعاملًا رئيسيًا اختياريًا لتعيد لك الصيغة القياسية المنشورة كاملةً لـ \(P(x)\)، مع درجتها ومعاملها الرئيسي وحدّها الثابت.
طريقة الاستخدام
أدخل الجذور على شكل قائمة مفصولة بفواصل (مثل 1، -2، 3). حدّد المعامل الرئيسي a — استخدم القيمة 1 للحصول على أبسط كثيرة حدود أحادية (Monic)، أو قيمة أخرى لتغيير مقياسها. تضرب الحاسبة العوامل \((x - r)\) بعضها ببعض، ثم تُطبّق المعامل الرئيسي، وتعرض كثيرة الحدود بصيغتها المنشورة.
شرح الصيغة
وفقًا لمبرهنة العامل (Factor Theorem)، إذا كان \(r\) جذرًا لـ \(P(x)\) فإن \((x - r)\) يكون عاملًا لها. ومن ثمّ فإن كثيرة الحدود التي جذورها \(r_1\) و\(r_2\) و… و\(r_n\) تُكتب على الصورة $$P(x) = a \cdot (x - r_1)(x - r_2)\dots(x - r_n)$$ تُجري الحاسبة هذا الجداء خطوةً بخطوة، فتنشره وفق قوى \(x\) التنازلية. ويحدّد المعامل الرئيسي حدّ الدرجة الأعلى، بينما يساوي الحدُّ الثابت حاصلَ ضرب \(a\) في جداء الجذور بعد عكس إشاراتها.
مثال محلول
لنفترض أن الجذور هي 1 و−2 و3 مع \(a = 1\). نضرب \((x - 1)(x + 2)(x - 3)\). أولًا $$(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2$$ ثم $$(x^2 + x - 2)(x - 3) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$$ وبذلك يكون \(P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\)، وهي كثيرة حدود تكعيبية من الدرجة الثالثة حدّها الثابت 6.
الأسئلة الشائعة
هل يمكنني إدخال جذور مكرّرة؟ نعم — إدراج الجذر مرتين يمنحه تعددية قدرها اثنان، فينتج عنه عامل مربّع.
هل تتعامل مع الجذور المركّبة؟ هذه الأداة تعمل مع الجذور الحقيقية. ولتضمين أزواج الجذور المركّبة المترافقة، أدخلها بدلًا من ذلك على شكل عامل تربيعي حقيقي.
ما وظيفة المعامل الرئيسي؟ إنه يقيس كثيرة الحدود بأكملها رأسيًا دون تغيير جذورها، فالقيمة \(a = 2\) تُضاعف كل معامل من معاملاتها.
