Qué hace esta calculadora
La calculadora de polinomios a partir de raíces invierte el problema habitual de buscar las raíces: en lugar de despejar los ceros de un polinomio, lo construye cuando ya conoces sus raíces. A partir de un conjunto de raíces reales y, opcionalmente, un coeficiente principal, devuelve la forma estándar completamente desarrollada de \(P(x)\), junto con su grado, su coeficiente principal y su término independiente.
Cómo usarla
Introduce las raíces como una lista separada por comas (por ejemplo, 1, -2, 3). Define el coeficiente principal a: usa 1 para obtener el polinomio mónico más sencillo, o cualquier otro valor para escalarlo. La calculadora multiplica entre sí los factores \((x - r)\), aplica el coeficiente principal y muestra el polinomio desarrollado.
La fórmula explicada
Según el teorema del factor, si r es una raíz de \(P(x)\), entonces \((x - r)\) es un factor del polinomio. Por tanto, un polinomio con raíces r₁, r₂, …, rₙ se expresa como $$P(x) = a \prod_{i=1}^{n} \left( x - r_i \right)$$ La calculadora realiza este producto paso a paso y lo desarrolla en potencias decrecientes de x. El coeficiente principal determina el término de mayor grado, mientras que el término independiente es igual a a multiplicado por el producto de las raíces con el signo cambiado.
Ejemplo resuelto
Supongamos que las raíces son 1, −2 y 3 con a = 1. Multiplicamos \((x - 1)(x + 2)(x - 3)\). Primero, $$(x - 1)(x + 2) = x^2 + x - 2$$ Después, $$(x^2 + x - 2)(x - 3) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$$ Así que \(P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6\), una cúbica de grado 3 con término independiente 6.
Preguntas frecuentes
¿Puedo introducir raíces repetidas? Sí: si incluyes una raíz dos veces, tendrá multiplicidad dos y producirá un factor al cuadrado.
¿Admite raíces complejas? Esta herramienta trabaja con raíces reales. Para incluir pares complejos conjugados, introdúcelos en su lugar como un factor cuadrático real.
¿Para qué sirve el coeficiente principal? Escala todo el polinomio verticalmente sin alterar las raíces, de modo que a = 2 duplica cada coeficiente.
