Calculadora de polinomio característico

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Tamaño de la matriz 2×2 3×3

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33

En una matriz 2×2 solo se usan los cuatro elementos de la esquina superior izquierda (a11, a12, a21, a22).

Resultados

Polinomio característico p(λ)

1λ² -4λ +3

= 0

Coeficiente de λ³	0
Coeficiente de λ²	1
Coeficiente de λ¹	-4
λ⁰ (término independiente)	3
Traza tr(A)	4
Determinante det(A)	3

¿Qué es el polinomio característico?

El polinomio característico de una matriz cuadrada A se define como \(p(\lambda) = \det(A - \lambda I)\), donde I es la matriz identidad y \(\lambda\) es una variable escalar. Sus raíces son precisamente los valores propios (autovalores) de A, lo que lo convierte en una pieza fundamental del álgebra lineal, las ecuaciones diferenciales, el análisis de estabilidad y la mecánica cuántica. Esta calculadora trabaja tanto con matrices 2×2 como 3×3 y te devuelve los coeficientes del polinomio junto con la traza y el determinante.

El polinomio característico proviene de \(\det(A - \lambda I)\), restando \(\lambda\) en la diagonal.

Cómo usar esta calculadora

Elige el tamaño de la matriz (2×2 o 3×3) y escribe cada elemento en su casilla correspondiente. En una matriz 2×2 solo se utilizan a11, a12, a21 y a22; el resto de casillas se ignoran. Pulsa calcular para ver el polinomio escrito en su forma estándar junto con cada uno de sus coeficientes.

Las fórmulas

Para una matriz 2×2 el resultado es muy compacto:

$$p(\lambda) = \lambda^{2} - \operatorname{tr}(A)\lambda + \det(A)$$

donde \(\operatorname{tr}(A) = \text{a11} + \text{a22}\) y \(\det(A) = \text{a11}\cdot\text{a22} - \text{a12}\cdot\text{a21}\).

Para una matriz 3×3:

$$p(\lambda) = -\lambda^{3} + \operatorname{tr}(A)\lambda^{2} - m\cdot\lambda + \det(A)$$

donde \(\operatorname{tr}(A)\) es la suma de los elementos de la diagonal y \(m\) es la suma de los tres menores principales de 2×2 (los menores que se obtienen al eliminar una fila y su columna correspondiente que pasan por la diagonal).

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Para una matriz 2×2, el polinomio es \(\lambda^{2} - (\text{traza})\lambda + (\text{determinante})\).

Ejemplo resuelto

Tomemos la matriz 2×2 [[2, 1], [1, 2]]. La traza es \(2 + 2 = 4\) y el determinante es \(2\cdot 2 - 1\cdot 1 = 3\). Por tanto,

$$p(\lambda) = \lambda^{2} - 4\lambda + 3$$

que se factoriza como \((\lambda - 1)(\lambda - 3)\), dando los valores propios 1 y 3.

Preguntas frecuentes

¿Qué son las raíces del polinomio característico? Son los valores propios (autovalores) de la matriz.

¿Por qué el coeficiente principal es −1 en el caso 3×3? Porque al desarrollar \(\det(A - \lambda I)\) en una matriz de tamaño impar aparece un factor \((-\lambda)^{3} = -\lambda^{3}\). Muchos libros multiplican toda la expresión por −1 para que el polinomio sea mónico; ambas formas tienen exactamente las mismas raíces.

¿Funciona con matrices no simétricas? Sí: la fórmula emplea todos los elementos, así que sirve para cualquier matriz real de 2×2 o 3×3.