¿Qué es la división larga de polinomios?
La división larga de polinomios es el equivalente algebraico de la división larga que aprendiste con los números. Dado un polinomio dividendo \(P(x)\) y un polinomio divisor \(D(x)\), se obtiene un cociente \(Q(x)\) y un resto \(R(x)\) que cumplen la identidad \(P(x) = D(x)\cdot Q(x) + R(x)\), donde el grado de \(R(x)\) es estrictamente menor que el grado de \(D(x)\). Esta calculadora admite dividendos y divisores de cualquier grado.
Cómo usar esta calculadora
Introduce los coeficientes de cada polinomio desde el término de mayor grado hasta el término independiente, separados por espacios. No olvides incluir ceros en las potencias que falten. Por ejemplo, \(x^3 - 3x + 5\) no tiene término en \(x^2\), así que escribirías 1 0 -3 5. El divisor \(x - 2\) se escribe como 1 -2. Pulsa calcular para ver el cociente y el resto.
La fórmula explicada
En cada paso divides el término principal del dividendo actual entre el término principal del divisor para obtener el siguiente término del cociente. A continuación multiplicas todo el divisor por ese término, lo restas del dividendo y repites el proceso con el nuevo polinomio, ya de menor grado. Cuando el grado del polinomio que queda es inferior al del divisor, lo que sobra es el resto.
$$\text{Dividendo}(x) = Q(x)\cdot\text{Divisor}(x) + R(x)$$es decir
$$\frac{\text{Dividendo}(x)}{\text{Divisor}(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{\text{Divisor}(x)}$$Ejemplo resuelto
Dividamos \(x^2 - 3x + 5\) entre \(x - 2\). Escribe el dividendo 1 -3 5 y el divisor 1 -2. Primero, \(x^2 \div x = x\); al restar \(x(x-2)=x^2-2x\) queda \(-x + 5\). Después, \(-x \div x = -1\); al restar \(-1(x-2)=-x+2\) queda \(3\). Por tanto \(Q(x) = x - 1\) y \(R(x) = 3\), es decir, $$x^2-3x+5 = (x-2)(x-1) + 3.$$
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si el divisor tiene mayor grado que el dividendo? En ese caso el cociente es 0 y todo el dividendo se convierte en el resto.
¿Cómo escribo los términos que faltan? Usa un 0 como coeficiente de cualquier potencia ausente, manteniendo cada posición en orden.
¿Un resto igual a 0 significa que el divisor es un factor? Sí: si \(R(x) = 0\), el divisor divide al dividendo de forma exacta.
