Что делает этот калькулятор
Инструмент вычисляет полином Эрмита в физической нормировке \(H_n(x)\) для одного фиксированного порядка \(n\) на последовательности значений \(x\). На выходе вы получаете таблицу пар \((x, H_n(x))\) и построенную кривую. Полиномы Эрмита встречаются во многих областях: в квантовой механике (собственные состояния энергии гармонического осциллятора), в теории вероятностей и в численных методах (квадратура Гаусса — Эрмита).
Как пользоваться
Укажите порядок полинома n (целое неотрицательное число: 0, 1, 2, 3, …), начальное значение x, шаг (приращение между соседними значениями x) и число повторов (сколько строк нужно сформировать). i-е значение x вычисляется как $$x_i = \text{startX} + i \cdot \text{stepX},$$ где \(i = 0 \ldots \text{count} - 1\). Отрицательный шаг даёт убывающую таблицу, а нулевой — повторяет одно и то же значение x.
Формула
Это полиномы Эрмита в физической нормировке. Они удовлетворяют дифференциальному уравнению $$y'' - 2x \cdot y' + 2n \cdot y = 0$$ и порождаются производящей функцией \(\exp(2xt - t^2)\). Для вычислений используется устойчивое трёхчленное рекуррентное соотношение: $$H_0(x) = 1, \quad H_1(x) = 2x, \quad H_{k+1}(x) = 2x \cdot H_k(x) - 2k \cdot H_{k-1}(x).$$ Такой подход исключает переполнение из-за факториалов. Обратите внимание: это не полиномы Эрмита в вероятностной нормировке \(He_n(x)\), для которых \(He_{k+1} = x \cdot He_k - k \cdot He_{k-1}\).
Разбор примера
При \(n = 3\) рекуррентное соотношение даёт \(H_2(x) = 4x^2 - 2\) и \(H_3(x) = 8x^3 - 12x\). При \(x = -2{,}5\): $$8(-15{,}625) + 30 = -95.$$ При \(x = 0\) значение равно 0, а при \(x = 2{,}5\) получаем \(+95\). С параметрами \(\text{startX} = -2{,}5\), \(\text{stepX} = 0{,}1\) и 51 повтором таблица протянется от \((-2{,}5;\ -95)\) через \((0;\ 0)\) до \((2{,}5;\ 95)\), вырисовывая нечётно-симметричную кривую кубического вида.
Частые вопросы
Какая нормировка используется? Физическая нормировка \(H_n\), в которой \(H_1(x) = 2x\). Первые полиномы: \(H_0 = 1\), \(H_1 = 2x\), \(H_2 = 4x^2 - 2\), \(H_4 = 16x^4 - 48x^2 + 12\), \(H_5 = 32x^5 - 160x^3 + 120x\).
Что будет при n = 0? \(H_0(x) = 1\) при любом \(x\), поэтому таблица и график представляют собой горизонтальную линию на высоте 1.
Почему при большом n значения резко растут? Полиномы Эрмита растут крайне быстро при больших порядках и больших \(|x|\); двойная точность может переполниться примерно за пределом \(1e308\). Чтобы графики оставались наглядными, держите \(n\) и диапазон \(x\) в умеренных рамках.
