Что делает этот калькулятор
Инструмент строит таблицу значений присоединённого (обобщённого) полинома Лагерра \(L_{n}^{(\alpha)}(x)\) для последовательности точек x. Вы задаёте степень n, параметр α, начальное значение x, шаг и количество строк, а калькулятор вычисляет значение полинома в каждой точке. Это чистая математика, которая работает одинаково в любой стране — никаких региональных или национальных особенностей здесь нет.
Как пользоваться
Введите n (целое неотрицательное число), α (любое вещественное число; классический случай ортогональности соответствует α > -1), начальное значение x, шаг и число строк. Точки x формируются по правилу \(x_i = \text{startX} + i \times \text{stepX}\) при \(i = 0, 1, \ldots, \text{count}-1\), и для каждой из них вычисляется и выводится значение \(L_{n}^{(\alpha)}(x_i)\).
Разбор формулы
Замкнутая форма представляет собой конечную сумму: $$L_{n}^{(\alpha)}(x) = \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} \binom{n+\alpha}{n-k} \frac{x^{k}}{k!},$$ где \(\binom{n+\alpha}{n-k}\) — обобщённый биномиальный коэффициент. Однако для устойчивости вычислений калькулятор использует трёхчленное рекуррентное соотношение: \(L_0 = 1\), \(L_1 = 1 + \alpha - x\) и $$(k+1)L_{k+1} = (2k+1+\alpha-x)L_{k} - (k+\alpha)L_{k-1}.$$ Такой подход позволяет избежать больших факториалов и потери точности при умеренных и больших значениях n.
Пример расчёта
При значениях по умолчанию n = 3, α = 1 явный вид полинома таков: $$L_{3}^{(1)}(x) = 4 - 6x + 2x^{2} - \tfrac{1}{6}x^{3}.$$ В точке x = 0 значение равно 4. При x = 0,1 получаем \(4 - 0{,}6 + 0{,}02 - 0{,}0001667 \approx 3{,}419833\). При x = 1 значение равно \(4 - 6 + 2 - 0{,}166667 = -0{,}166667\).
Частые вопросы
А если n = 0? Тогда \(L_{0}^{(\alpha)}(x) = 1\) при любом x и любом α.
Может ли α быть отрицательным или нецелым? Да — и сумма, и рекуррентная формула работают для любого вещественного α. Классическая ортогональность на интервале (0, ∞) требует α > -1.
Можно ли задать нулевой или отрицательный шаг? Да. Отрицательный шаг ведёт x в сторону убывания, а нулевой повторяет одно и то же значение x, давая вырожденную таблицу с постоянным x.
Присоединённые полиномы Лагерра
Присоединённые (обобщённые) полиномы Лагерра \(L_n^{(\alpha)}(x)\) — это полиномы степени \(n\) по \(x\), коэффициенты которых зависят от параметра \(\alpha\). Замкнутая форма имеет вид
$$L_n^{(\alpha)}(x)=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n+\alpha}{n-k}\frac{x^k}{k!}.$$Первые пять полиномов в общем виде через параметр \(\alpha\):
| \(n\) | \(L_n^{(\alpha)}(x)\) |
|---|---|
| 0 | \(1\) |
| 1 | \(-x+(\alpha+1)\) |
| 2 | \(\dfrac{x^2}{2}-(\alpha+2)x+\dfrac{(\alpha+1)(\alpha+2)}{2}\) |
| 3 | \(-\dfrac{x^3}{6}+\dfrac{(\alpha+3)x^2}{2}-\dfrac{(\alpha+2)(\alpha+3)x}{2}+\dfrac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)}{6}\) |
| 4 | \(\dfrac{x^4}{24}-\dfrac{(\alpha+4)x^3}{6}+\dfrac{(\alpha+3)(\alpha+4)x^2}{4}-\dfrac{(\alpha+2)(\alpha+3)(\alpha+4)x}{6}+\dfrac{(\alpha+1)(\alpha+2)(\alpha+3)(\alpha+4)}{24}\) |
Частный случай \(\alpha=0\). При \(\alpha=0\) получаются обычные полиномы Лагерра \(L_n(x)=L_n^{(0)}(x)\):
| \(n\) | \(L_n(x)\) |
|---|---|
| 0 | \(1\) |
| 1 | \(1-x\) |
| 2 | \(1-2x+\tfrac12 x^2\) |
| 3 | \(1-3x+\tfrac32 x^2-\tfrac16 x^3\) |
| 4 | \(1-4x+3x^2-\tfrac23 x^3+\tfrac{1}{24}x^4\) |
Старший коэффициент всегда равен \(\dfrac{(-1)^n}{n!}\) и не зависит от \(\alpha\).
Ключевые термины и переменные
- Степень \(n\)
- Неотрицательное целое число, задающее степень полинома; \(L_n^{(\alpha)}(x)\) имеет ровно \(n\) корней. В калькуляторе это поле степень.
- Параметр \(\alpha\)
- Действительное число (обычно \(\alpha>-1\)), сдвигающее биномиальные коэффициенты и вес ортогональности. Поле альфа. При \(\alpha=0\) полиномы переходят в обычные полиномы Лагерра.
- Аргумент \(x\)
- Точка, в которой вычисляется полином. Таблица содержит точки \(x_i=\text{startX}+i\cdot\text{stepX}\). Естественная область ортогональности — \((0,\infty)\).
- Обобщённый биномиальный коэффициент
- Для действительного верхнего индекса: \(\binom{n+\alpha}{n-k}=\dfrac{\Gamma(n+\alpha+1)}{\Gamma(k+\alpha+1)\,(n-k)!}\), что распространяет \(\binom{m}{j}=m!/(j!(m-j)!)\) на нецелые \(\alpha\) через гамма-функцию.
- Трёхчленная рекуррентность
- Устойчивый способ вычисления полиномов: \((k+1)L_{k+1}^{(\alpha)}=(2k+1+\alpha-x)L_k^{(\alpha)}-(k+\alpha)L_{k-1}^{(\alpha)}\), начиная с \(L_0^{(\alpha)}=1\) и \(L_1^{(\alpha)}=1+\alpha-x\).
- Ортогональность на \((0,\infty)\)
- Полиномы взаимно ортогональны: \(\displaystyle\int_0^\infty L_n^{(\alpha)}(x)L_m^{(\alpha)}(x)\,w(x)\,dx=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}\delta_{nm}\).
- Весовая функция \(w(x)=x^{\alpha}e^{-x}\)
- Множитель, относительно которого выполняется ортогональность; при \(\alpha=0\) это простой экспоненциальный вес \(e^{-x}\). Сходимость интеграла требует \(\alpha>-1\).
Интерпретация таблицы
Чтение вычисленной таблицы \(L_n^{(\alpha)}(x)\) облегчается следующими фактами:
- Число действительных корней. При \(\alpha>-1\) полином \(L_n^{(\alpha)}(x)\) имеет ровно \(n\) простых действительных нулей, все лежащие в открытом интервале \((0,\infty)\). Если столбец вашей таблицы пересекает ноль \(n\) раз, вы нашли все корни.
- Смены знака. Поскольку все нули простые, полином меняет знак в каждом из них. Между двумя последовательными нулями значения сохраняют постоянный знак, поэтому смена знака между соседними строками ограничивает корень — полезно как начальный интервал для поиска корня методом бисекции или Ньютона.
- Значение в начале координат. Каждый присоединённый полином Лагерра удовлетворяет \(L_n^{(\alpha)}(0)=\binom{n+\alpha}{n}=\dfrac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!\,\Gamma(\alpha+1)}\). Например, при \(n=4,\ \alpha=0\) первая строка в точке \(x=0\) равна 1, а при \(n=4,\ \alpha=2\) равна \(\binom{6}{4}=\) 15.
- Квантовая механика. Радиальная часть волновой функции атома водорода строится из \(L_{n-\ell-1}^{(2\ell+1)}\!\left(2r/(na_0)\right)\); нули полинома соответствуют радиальным узлам орбитали.
- Гауссова–Лагеррова квадратура. Нули, указанные в таблице, — это в точности абсциссы для приближения интеграла \(\int_0^\infty f(x)\,x^{\alpha}e^{-x}\,dx\) с весами, определяемыми из тех же полиномов.
Это общая математическая справочная информация; проверяйте любое значение, которое вы используете в критическом приложении.
