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परिणाम

लघुगणकीय समाकलन टेबल बन गई

li(x) की पंक्तियाँ

li(x) at first x = 2	1.0451637801
अंतिम x पर li(x)	7.7808255956
वृद्धि (step)	0.2

x	li(x)
2	1.045163780
2.2	1.315238277
2.4	1.555670529
2.6	1.774144569
2.8	1.975643343
3	2.163588595
3.2	2.340435501
3.4	2.508008074
3.6	2.667700254
3.8	2.820602553
4	2.967585095
4.2	3.109353940
4.4	3.246490415
4.6	3.379479255
4.8	3.508729195
5	3.634588310
5.2	3.757355650
5.4	3.877290192
5.6	3.994617821
5.8	4.109536844
6	4.222222391
6.2	4.332829965
6.4	4.441498332
6.6	4.548351889
6.8	4.653502627
7	4.757051766
7.2	4.859091126
7.4	4.959704282
7.6	5.058967552
7.8	5.156950827
8	5.253718300
8.2	5.349329078
8.4	5.443837726
8.6	5.537294730
8.8	5.629746904
9	5.721237753
9.2	5.811807780
9.4	5.901494770
9.6	5.990334030
9.8	6.078358612
10	6.165599505
10.2	6.252085806
10.4	6.337844881
10.6	6.422902499
10.8	6.507282963
11	6.591009216
11.2	6.674102950
11.4	6.756584697
11.6	6.838473910
11.8	6.919789044
12	7.000547621
12.2	7.080766300
12.4	7.160460927
12.6	7.239646596
12.8	7.318337695
13	7.396547948
13.2	7.474290462
13.4	7.551577760
13.6	7.628421821
13.8	7.704834106
14	7.780825596

लघुगणकीय समाकलन li(x) क्या है?

लघुगणकीय समाकलन, जिसे $\operatorname{li}(x)$ लिखा जाता है, एक विशेष फलन है जिसे 0 से x तक $1/\ln(t)$ के समाकलन के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूँकि समाकल्य (integrand) $t = 1$ पर एकवचनता (singularity) रखता है, इसलिए $x > 1$ के लिए इस समाकलन को कौशी मुख्य मान (Cauchy principal value) के रूप में लिया जाता है। यह फलन विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत का केंद्रबिंदु है: अभाज्य संख्या प्रमेय (Prime Number Theorem) के अनुसार अभाज्य-गणना फलन $\pi(x)$, $\operatorname{li}(x)$ के स्पर्शोन्मुख (asymptotic) होता है, और $\operatorname{li}(x)$, x से छोटी अभाज्य संख्याओं की गिनती का सबसे अच्छा सरल सन्निकटन (approximation) माना जाता है। यह कैलकुलेटर ऑफसेट-रहित परिभाषा $\operatorname{li}(x)$ (निचली सीमा 0) का उपयोग करता है, ऑयलरीय रूप $\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)$ का नहीं।

li(x) का वक्र x=1 के पास शून्य को पार करता और बढ़ता हुआ, जिसमें 1/ln t के नीचे छायांकित क्षेत्र है — लघुगणकीय समाकल $\operatorname{li}(x)$ में $x=1$ पर विचित्रता होती है और बड़े x के लिए यह धीरे-धीरे बढ़ता है।

इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

तीन मान दर्ज करें: x का प्रारंभिक मान, हर पंक्ति में जोड़ी जाने वाली वृद्धि (step), और पुनरावृत्तियों (पंक्तियों) की संख्या। यह उपकरण एक ऐसी टेबल बनाता है जिसमें पंक्ति i में $$x = \text{startX} + i \times \text{step}$$ होता है, और उसके अनुरूप $\operatorname{li}(x)$ का मान। साथ ही $\operatorname{li}(x)$ बनाम x का एक रेखा ग्राफ भी बनता है। सार्थक वास्तविक परिणाम के लिए प्रारंभिक मान 0 से अधिक चुनें; आम डिफ़ॉल्ट रेंज है $\text{startX} = 2$, $\text{step} = 0.2$, 61 पुनरावृत्तियाँ, जो x को 2.0 से 14.0 तक टेबल में प्रस्तुत करती है।

सूत्र की व्याख्या

हम $\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)$ का मान निकालते हैं, जहाँ $\operatorname{Ei}$ चरघातांकी समाकलन (exponential integral) है। $\operatorname{Ei}(z)$ को इस अभिसारी श्रेणी से जोड़ा जाता है: $$\operatorname{Ei}(z) = \gamma + \ln|z| + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k\cdot k!}$$ जहाँ $\gamma = 0.5772156649\ldots$ ऑयलर-माश्चेरोनी स्थिरांक है। श्रेणी को तब तक जोड़ा जाता है जब तक प्रत्येक पद चल रहे योग की तुलना में नगण्य न हो जाए। किनारे के मामले मानक परंपराओं का पालन करते हैं: $x \le 0$ पर 0 लौटता है, और $x = 1$ पर ऋणात्मक अनंत (singularity) लौटता है।

0 से x तक 1/ln t वक्र के नीचे छायांकित क्षेत्र, जो समाकल की परिभाषा दर्शाता है — $\operatorname{li}(x)$ 0 से x तक $1/\ln t$ के नीचे का चिह्नित क्षेत्रफल है।

हल किया गया उदाहरण

$x = 2$ के लिए, $z = \ln 2 = 0.6931472$। $\gamma + \ln|z| +$ श्रेणी को जोड़ने पर $\operatorname{Ei}(0.6931472) = 1.0451638$ मिलता है, अतः $\operatorname{li}(2) = 1.04516378011749$, जो प्रकाशित संदर्भ मान से मेल खाता है। $\operatorname{li}(x)$ का एकमात्र धनात्मक वास्तविक मूल $x = 1.45136923488$ (रामानुजन-सोल्डनर स्थिरांक) पर है, जहाँ $\operatorname{li}(x) = 0$ होता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

$x = 1$ के पास $\operatorname{li}(x)$ क्यों असीमित हो जाता है? समाकल्य $1/\ln(t)$, $t = 1$ पर एकवचन होता है, इसलिए $\operatorname{li}(1) = -\infty$ होता है और फलन उस बिंदु के आसपास तेज़ी से बदलता है।

क्या यह $\operatorname{li}(x)$ है या $\operatorname{Li}(x)$? यह बिना-ऑफसेट वाला $\operatorname{li}(x)$ है जिसकी निचली सीमा 0 है। ऑफसेट संस्करण $\operatorname{Li}(x)$ में से $\operatorname{li}(2)$ घटाया जाता है।

यदि मेरा प्रारंभिक मान 0 या ऋणात्मक हो तो क्या होगा? $x \le 0$ के लिए वास्तविक लघुगणकीय समाकलन परिभाषित नहीं है, इसलिए कैलकुलेटर ऐसी पंक्तियों के लिए 0 लौटाता है।

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