लघुगणकीय समाकलन li(x) क्या है?
लघुगणकीय समाकलन, जिसे \(\operatorname{li}(x)\) लिखा जाता है, एक विशेष फलन है जिसे 0 से x तक \(1/\ln(t)\) के समाकलन के रूप में परिभाषित किया जाता है। चूँकि समाकल्य (integrand) \(t = 1\) पर एकवचनता (singularity) रखता है, इसलिए \(x > 1\) के लिए इस समाकलन को कौशी मुख्य मान (Cauchy principal value) के रूप में लिया जाता है। यह फलन विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत का केंद्रबिंदु है: अभाज्य संख्या प्रमेय (Prime Number Theorem) के अनुसार अभाज्य-गणना फलन \(\pi(x)\), \(\operatorname{li}(x)\) के स्पर्शोन्मुख (asymptotic) होता है, और \(\operatorname{li}(x)\), x से छोटी अभाज्य संख्याओं की गिनती का सबसे अच्छा सरल सन्निकटन (approximation) माना जाता है। यह कैलकुलेटर ऑफसेट-रहित परिभाषा \(\operatorname{li}(x)\) (निचली सीमा 0) का उपयोग करता है, ऑयलरीय रूप \(\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)\) का नहीं।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
तीन मान दर्ज करें: x का प्रारंभिक मान, हर पंक्ति में जोड़ी जाने वाली वृद्धि (step), और पुनरावृत्तियों (पंक्तियों) की संख्या। यह उपकरण एक ऐसी टेबल बनाता है जिसमें पंक्ति i में $$x = \text{startX} + i \times \text{step}$$ होता है, और उसके अनुरूप \(\operatorname{li}(x)\) का मान। साथ ही \(\operatorname{li}(x)\) बनाम x का एक रेखा ग्राफ भी बनता है। सार्थक वास्तविक परिणाम के लिए प्रारंभिक मान 0 से अधिक चुनें; आम डिफ़ॉल्ट रेंज है \(\text{startX} = 2\), \(\text{step} = 0.2\), 61 पुनरावृत्तियाँ, जो x को 2.0 से 14.0 तक टेबल में प्रस्तुत करती है।
सूत्र की व्याख्या
हम \(\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)\) का मान निकालते हैं, जहाँ \(\operatorname{Ei}\) चरघातांकी समाकलन (exponential integral) है। \(\operatorname{Ei}(z)\) को इस अभिसारी श्रेणी से जोड़ा जाता है: $$\operatorname{Ei}(z) = \gamma + \ln|z| + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k\cdot k!}$$ जहाँ \(\gamma = 0.5772156649\ldots\) ऑयलर-माश्चेरोनी स्थिरांक है। श्रेणी को तब तक जोड़ा जाता है जब तक प्रत्येक पद चल रहे योग की तुलना में नगण्य न हो जाए। किनारे के मामले मानक परंपराओं का पालन करते हैं: \(x \le 0\) पर 0 लौटता है, और \(x = 1\) पर ऋणात्मक अनंत (singularity) लौटता है।
हल किया गया उदाहरण
\(x = 2\) के लिए, \(z = \ln 2 = 0.6931472\)। \(\gamma + \ln|z| +\) श्रेणी को जोड़ने पर \(\operatorname{Ei}(0.6931472) = 1.0451638\) मिलता है, अतः \(\operatorname{li}(2) = 1.04516378011749\), जो प्रकाशित संदर्भ मान से मेल खाता है। \(\operatorname{li}(x)\) का एकमात्र धनात्मक वास्तविक मूल \(x = 1.45136923488\) (रामानुजन-सोल्डनर स्थिरांक) पर है, जहाँ \(\operatorname{li}(x) = 0\) होता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
\(x = 1\) के पास \(\operatorname{li}(x)\) क्यों असीमित हो जाता है? समाकल्य \(1/\ln(t)\), \(t = 1\) पर एकवचन होता है, इसलिए \(\operatorname{li}(1) = -\infty\) होता है और फलन उस बिंदु के आसपास तेज़ी से बदलता है।
क्या यह \(\operatorname{li}(x)\) है या \(\operatorname{Li}(x)\)? यह बिना-ऑफसेट वाला \(\operatorname{li}(x)\) है जिसकी निचली सीमा 0 है। ऑफसेट संस्करण \(\operatorname{Li}(x)\) में से \(\operatorname{li}(2)\) घटाया जाता है।
यदि मेरा प्रारंभिक मान 0 या ऋणात्मक हो तो क्या होगा? \(x \le 0\) के लिए वास्तविक लघुगणकीय समाकलन परिभाषित नहीं है, इसलिए कैलकुलेटर ऐसी पंक्तियों के लिए 0 लौटाता है।
