Logaritma integrali li(x) nedir?
\(\operatorname{li}(x)\) ile gösterilen logaritma integrali, \(1/\ln(t)\) ifadesinin 0'dan \(x\)'e kadar integrali olarak tanımlanan özel bir fonksiyondur. İntegrand \(t = 1\) noktasında bir tekillik içerdiğinden, \(x > 1\) için integral Cauchy esas değeri olarak alınır. Bu fonksiyon analitik sayılar teorisinin kalbinde yer alır: Asal Sayı Teoremi'ne göre asal sayma fonksiyonu \(\pi(x)\), \(\operatorname{li}(x)\) ile asimptotiktir ve \(\operatorname{li}(x)\), \(x\)'in altındaki asal sayıların adedi için en iyi basit yaklaşımlardan biridir. Bu hesaplayıcı, kaymalı Euler varyantı \(\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)\) yerine, kaymasız tanımı (alt sınır 0) olan \(\operatorname{li}(x)\)'i kullanır.
Bu hesaplayıcı nasıl kullanılır?
Üç değer girin: \(x\)'in başlangıç değeri, her satırda eklenecek artış (adım) ve yineleme sayısı (satır adedi). Araç, \(i\) numaralı satırın \(x = \text{başlangıçX} + i \times \text{adım}\) ve buna karşılık gelen \(\operatorname{li}(x)\) değerini içerdiği bir tablo oluşturur. Ayrıca \(\operatorname{li}(x)\)'in \(x\)'e göre çizgi grafiği de üretilir. Anlamlı reel çıktı almak için 0'ın üzerinde bir başlangıç değeri seçin; yaygın varsayılan aralık \(\text{başlangıçX} = 2\), \(\text{adım} = 0{,}2\) ve 61 yinelemedir; bu da \(x\)'i 2,0'dan 14,0'a kadar tablo halinde verir.
Formülün açıklaması
Burada \(\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)\) hesaplanır; burada \(\operatorname{Ei}\) üstel integraldir. \(\operatorname{Ei}(z)\), yakınsak seri $$\operatorname{Ei}(z) = \gamma + \ln|z| + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{z^{k}}{k\cdot k!}$$ toplamı ile hesaplanır; burada \(\gamma = 0{,}5772156649\dots\) Euler-Mascheroni sabitidir. Seri, her terim çalışan toplam karşısında ihmal edilebilir hale gelene kadar toplanır. Sınır durumları standart kurallara uyar: \(x \le 0\) için 0 döner, \(x = 1\) için ise eksi sonsuz (tekillik) döner.
Çözümlü örnek
\(x = 2\) için \(z = \ln 2 = 0{,}6931472\). \(\gamma + \ln|z| +\) serinin toplamı \(\operatorname{Ei}(0{,}6931472) = 1{,}0451638\) verir; dolayısıyla $$\operatorname{li}(2) = 1{,}04516378011749$$ olur ve bu, yayımlanmış referans değeriyle örtüşür. \(\operatorname{li}(x)\)'in tek pozitif reel kökü \(x = 1{,}45136923488\) noktasındadır (Ramanujan-Soldner sabiti); bu noktada \(\operatorname{li}(x) = 0\)'dır.
Sıkça Sorulan Sorular
li(x) neden x = 1 civarında sonsuza gider? İntegrand \(1/\ln(t)\), \(t = 1\) noktasında tekildir; bu nedenle \(\operatorname{li}(1) = \) eksi sonsuzdur ve fonksiyon bu noktanın çevresinde çok hızlı değişir.
Bu li(x) mi yoksa Li(x) mi? Bu, alt sınırı 0 olan kaymasız \(\operatorname{li}(x)\)'tir. Kaymalı sürüm olan \(\operatorname{Li}(x)\), \(\operatorname{li}(2)\)'yi çıkarır.
Başlangıç değerim 0 veya negatifse ne olur? \(x \le 0\) için reel logaritma integrali tanımsızdır; bu nedenle hesaplayıcı bu satırlar için 0 döndürür.
