Hiperbolik Sinüs İntegrali Shi(x) Hesaplayıcı

Hesaplamaya Girin

x İntegralin üst sınırı (herhangi bir gerçel sayı)

Sonuç

Hiperbolik Sinüs İntegrali

1,057250875376

Shi(x) = 0'dan x'e sinh(t)/t integrali

Shi(x)	1,057250875376
Chi(x)	0,843281542654

Hiperbolik sinüs integrali Shi(x) nedir?

\(\operatorname{Shi}(x)\) olarak yazılan hiperbolik sinüs integrali, \(\sinh(t)/t\) fonksiyonunun 0'dan \(x\)'e belirli integrali olarak tanımlanan özel bir fonksiyondur. İlk bakışta integrand \(t = 0\) noktasında ıraksıyor gibi görünse de, buradaki tekillik kaldırılabilir niteliktedir: \(t\) sıfıra yaklaşırken \(\sinh(t)/t\) değeri 1'e yaklaşır. Bu nedenle \(\operatorname{Shi}(x)\), gerçel sayı doğrusunun her noktasında analitiktir; \(\operatorname{Shi}(0) = 0\) olur ve tek (odd) bir fonksiyondur, yani \(\operatorname{Shi}(-x) = -\operatorname{Shi}(x)\) eşitliği geçerlidir.

Shi(x), sinh(t)/t'nin integraliyle tanımlanan, düzgün şekilde artan tek fonksiyondur.

Hesaplama aracı nasıl kullanılır?

Giriş alanına herhangi bir gerçel sayı \(x\) girin; araç size \(\operatorname{Shi}(x)\) değerini döndürsün. \(x\) sıfırdan büyük olduğunda, ilişkili hiperbolik kosinüs integrali \(\operatorname{Chi}(x)\) de ayrıca gösterilir. \(x \le 0\) için \(\operatorname{Chi}(x)\) tanımsız olarak verilir, çünkü ifade \(\ln(x)\) içerir ve karmaşık (kompleks) bir dala dönüşür. Sonuçlar, çift duyarlıklı (double-precision) aritmetik kullanılarak yaklaşık on iki anlamlı basamağa kadar gösterilir.

Formülün açıklaması

Bu araç, her gerçel \(x\) için yakınsayan Maclaurin serisini toplar:

$$\operatorname{Shi}(x) = x + \frac{x^3}{3\cdot 3!} + \frac{x^5}{5\cdot 5!} + \cdots$$

Her terim, faktöriyel taşmasını (overflow) önlemek amacıyla bir önceki terimden adım adım türetilir ve yeni eklenen terim toplama göre ihmal edilebilecek kadar küçüldüğünde toplama işlemi durdurulur. \(\operatorname{Chi}(x)\) ise şu şekilde hesaplanır:

$$\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac{x^2}{2\cdot 2!} + \frac{x^4}{4\cdot 4!} + \cdots$$

Buradaki \(\gamma\), yaklaşık 0,5772156649 değerindeki Euler-Mascheroni sabitidir.

Shi(x), 0'dan x'e kadar sinh(t)/t altındaki taralı alana eşittir.

Çözümlü örnek

\(x = 1\) için seri şu değeri verir:

$$1 + \frac{1}{18} + \frac{1}{600} + \frac{1}{35280} + \cdots \approx 1{,}0572508754$$

Bilinen referans değeri \(\operatorname{Shi}(1) = 1{,}0572508753757285\) ve \(\operatorname{Chi}(1) = 0{,}8378669409765007\) olup, bu sonuçlar hesaplama aracının çıktısıyla birebir örtüşür.

Sıkça sorulan sorular

Shi(x) ile sinüs integrali Si(x) aynı şey midir? Hayır. \(\operatorname{Si}(x)\), \(\sin(t)/t\) fonksiyonunun integralidir; \(\operatorname{Shi}(x)\) ise hiperbolik \(\sinh(t)/t\) fonksiyonunun integralidir. Aralarındaki ilişki \(\operatorname{Shi}(x) = -i\cdot\operatorname{Si}(ix)\) bağıntısıyla verilir.

Chi neden x ≤ 0 için tanımsızdır? \(\operatorname{Chi}(x)\) ifadesi \(\ln(x)\) içerir; negatif \(x\) değerlerinde bu terim karmaşık (kompleks) hale gelir ve \(x = 0\) noktasında ise eksi sonsuza ıraksar.

x ne kadar büyük olabilir? \(\sinh\) fonksiyonu kabaca \(e^{|x|}/2\) hızıyla büyüdüğünden, çift duyarlıklı aritmetik \(|x| \approx 700\) civarında taşar (overflow). Orta büyüklükteki değerler için seri son derece hassas sonuç verir.