ما هو تكامل الجيب الزائدي Shi(x)؟
تكامل الجيب الزائدي، ويُرمز إليه بـ \(\operatorname{Shi}(x)\)، هو دالة خاصة تُعرَّف على أنها التكامل المحدد للدالة \(\sinh(t)/t\) من 0 إلى x. ورغم أن المُكامَل يبدو وكأنه يتباعد عند t = 0، فإن هذه النقطة الشاذة قابلة للإزالة: فكلما اقتربت t من الصفر اقتربت قيمة \(\sinh(t)/t\) من 1. ولهذا السبب تكون الدالة \(\operatorname{Shi}(x)\) تحليلية في كل نقاط المحور الحقيقي، حيث \(\operatorname{Shi}(0) = 0\)، وهي دالة فردية، أي أن \(\operatorname{Shi}(-x) = -\operatorname{Shi}(x)\).
كيفية استخدام هذه الحاسبة
أدخل أي عدد حقيقي x في حقل الإدخال لتعيد الحاسبة قيمة \(\operatorname{Shi}(x)\). وعندما تكون x أكبر من الصفر، فإنها تعرض أيضًا تكامل جيب التمام الزائدي المرتبط \(\operatorname{Chi}(x)\). أما عندما تكون x ≤ 0، فإن \(\operatorname{Chi}(x)\) تُعرض على أنها غير مُعرَّفة لأنها تتضمن \(\ln(x)\) وتطوّر فرعًا عقديًا. وتُعرض النتائج بدقة تبلغ نحو اثني عشر رقمًا معنويًا باستخدام الحساب مزدوج الدقة.
شرح الصيغة
تجمع هذه الأداة متسلسلة ماكلورين
$$\operatorname{Shi}(x) = x + \frac{x^3}{3\cdot 3!} + \frac{x^5}{5\cdot 5!} + \cdots$$وهي متسلسلة متقاربة لكل عدد حقيقي x. ويُبنى كل حد تدريجيًا انطلاقًا من الحد السابق لتفادي فيض المضروب (factorial overflow)، ويتوقف الجمع عندما يصبح أي حد جديد ضئيلًا بدرجة تكاد لا تُذكر مقارنة بالمجموع الجاري. أما \(\operatorname{Chi}(x)\) فتُحسَب بالصيغة
$$\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac{x^2}{2\cdot 2!} + \frac{x^4}{4\cdot 4!} + \cdots$$حيث \(\gamma\) هو ثابت أويلر-ماسكيروني، الذي يساوي تقريبًا \(0.5772156649\).
مثال محلول
عند x = 1: تعطي المتسلسلة
$$1 + \frac{1}{18} + \frac{1}{600} + \frac{1}{35280} + \cdots \approx 1.0572508754$$والقيمة المرجعية المعروفة هي \(\operatorname{Shi}(1) = 1.0572508753757285\)، و\(\operatorname{Chi}(1) = 0.8378669409765007\)، وهي تطابق ما تخرجه الحاسبة.
الأسئلة الشائعة
هل Shi(x) هي نفسها تكامل الجيب Si(x)؟ لا. فدالة \(\operatorname{Si}(x)\) تكامل لـ \(\sin(t)/t\)، بينما \(\operatorname{Shi}(x)\) تكامل للجيب الزائدي \(\sinh(t)/t\). وترتبطان بالعلاقة \(\operatorname{Shi}(x) = -i\cdot\operatorname{Si}(ix)\).
لماذا تكون Chi غير مُعرَّفة عندما x ≤ 0؟ لأن \(\operatorname{Chi}(x)\) تتضمن \(\ln(x)\)؛ وعندما تكون x سالبة يصبح هذا الحد عقديًا، وعند x = 0 يتباعد إلى ما لا نهاية بالسالب.
ما أقصى قيمة يمكن أن تبلغها x؟ بما أن \(\sinh\) تنمو تقريبًا بمعدل \(e^{|x|}/2\)، فإن الحساب مزدوج الدقة يتجاوز حدّه عند \(|x| \approx 700\) تقريبًا. أما بالنسبة للقيم المعتدلة فإن المتسلسلة دقيقة إلى أبعد حد.
