ما الذي تقوم به هذه الحاسبة
تولّد هذه الأداة جدولًا عالي الدقة لقيم تكامل الجيب \(\operatorname{Si}(x)\) وتكامل جيب التمام \(\operatorname{Ci}(x)\) على متتالية من القيم. ما عليك سوى اختيار قيمة البداية، ومقدار الخطوة (الزيادة)، وعدد النقاط التي تريد حسابها، لتعرض الأداة قيمتي \(\operatorname{Si}(x)\) و\(\operatorname{Ci}(x)\) لكل صف. هاتان دالتان خاصتان قياسيتان في الرياضيات البحتة، تُطبَّقان بالطريقة نفسها في كل مكان دون أي قواعد خاصة بمنطقة أو بلد. والمتغيّر \(x\) عدد حقيقي بلا أبعاد، ويُفسَّر بالراديان داخل دالتي الجيب وجيب التمام في صلب التكاملين.
شرح الصيغ
يُعرَّف تكامل الجيب بأنه \(\operatorname{Si}(x)\) = تكامل الدالة \(\sin(t)/t\) من 0 إلى \(x\). ولأن للدالة \(\sin(t)/t\) تفرّدًا قابلًا للإزالة عند \(t = 0\) (إذ تؤول قيمتها هناك إلى 1)، فإن \(\operatorname{Si}(0) = 0\)، كما أن \(\operatorname{Si}\) دالة فردية تامة: \(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\)، مع \(\operatorname{Si}(\infty) = \pi/2\). أما تكامل جيب التمام فهو \(\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln(x)\) + تكامل الدالة \((\cos(t)-1)/t\) من 0 إلى \(x\)، حيث \(\gamma \approx 0.5772156649\) هو ثابت أويلر–ماسكيروني. والدالة \(\operatorname{Ci}(x)\) حقيقية فقط عندما تكون \(x > 0\)؛ أما عند \(x \le 0\) فتُعَدّ غير معرَّفة (تُعرَض بشرطة). ونحسب كلتيهما باستخدام متسلسلتيهما القوّيتين المتقاربتين، إذ نجمع الحدود إلى أن تنزل الحدود الإضافية دون دقة الآلة.
$$\operatorname{Si}(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\, x^{2n+1}}{(2n+1)\,(2n+1)!}, \qquad \operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln x + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n\, x^{2n}}{(2n)\,(2n)!}$$
كيفية الاستخدام
أدخِل القيمة الابتدائية لـ \(x\)، ومقدار الزيادة، وعدد التكرارات. وتُحسَب صفوف الجدول وفق العلاقة \(x_i = \text{البداية} + i\cdot\text{الخطوة}\) لقيم \(i = 0, 1, \ldots, \text{العدد}-1\). فمثلًا: بداية 0، وخطوة 0.2، وعدد 51 يغطّي قيم \(x\) من 0 إلى 10.
مثال محلول
إذا كانت البداية = 0، والخطوة = 0.2، والعدد = 6، فإن القيم هي 0، 0.2، 0.4، 0.6، 0.8، 1.0. تعطي المتسلسلتان: $$\operatorname{Si}(1.0) = 1 - \tfrac{1}{18} + \tfrac{1}{600} - \cdots \approx 0.9460831$$ و $$\operatorname{Ci}(1.0) = \gamma + 0 + (-0.25 + 0.0104167 - \cdots) \approx 0.3374039.$$ ويُظهِر الصف الأول \(\operatorname{Si}(0) = 0\)، بينما تكون \(\operatorname{Ci}(0)\) غير معرَّفة (شرطة) لأن \(\operatorname{Ci}\) تتباعد إلى \(-\infty\) عندما تؤول \(x\) إلى \(0^+\).
الأسئلة الشائعة
لماذا تظهر \(\operatorname{Ci}\) فارغة عند \(x = 0\) أو عند قيم \(x\) السالبة؟ تحتوي \(\operatorname{Ci}(x)\) على \(\ln(x)\) التي ليست حقيقية عند \(x \le 0\)، كما أن \(\operatorname{Ci}(x) \to -\infty\) عندما تؤول \(x\) إلى \(0^+\)، ولذلك نُعَلِّم تلك الصفوف بأنها غير معرَّفة.
هل \(\operatorname{Si}\) معرَّفة عند قيم \(x\) السالبة؟ نعم، فالدالة \(\operatorname{Si}\) معرَّفة لكل قيم \(x\) الحقيقية وهي فردية، أي إن \(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\).
ما القيمة الحدّية لـ \(\operatorname{Si}\)؟ عندما تؤول \(x\) إلى \(\infty\)، فإن \(\operatorname{Si}(x) \to \pi/2 \approx 1.5707963\).
