ما هو تكامل فرينل الجيبي؟
تكامل فرينل الجيبي \(S(x)\) ومرافقه تكامل الجيب تمام \(C(x)\) دالتان خاصتان تظهران بكثرة في علم البصريات (حيود فرينل) ونظرية الهوائيات وهندسة حلزون كورنو (أويلر). تعتمد هذه الحاسبة الاصطلاح المعياري \(\pi/2\)، حيث تُعرَّف \(S(x)\) بأنها تكامل \(\sin(\pi t^{2}/2)\) بالنسبة إلى \(t\) من 0 إلى \(x\)، وتُعرَّف \(C(x)\) بالتكامل نفسه مع استبدال الجيب بجيب التمام. وفي هذا الاصطلاح تقترب كلتا الدالتين من القيمة \(1/2\) عندما تتزايد \(x\) نحو اللانهاية الموجبة.
$$S(x) = \int_{0}^{x} \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)\,dt$$
طريقة الاستخدام
أدخل أي قيمة حقيقية لـ \(x\) (موجبة أو سالبة) واختر عدد المنازل العشرية التي تريد عرضها. وبما أن دالتي التكامل زوجيتان بالنسبة إلى \(t\)، فإن \(S(x)\) و\(C(x)\) دالتان فرديتان: أي أن \(S(-x) = -S(x)\) و\(C(-x) = -C(x)\). تحسب الأداة القيمة المطلقة ثم تطبّق الإشارة تلقائيًا. وعند \(x = 0\) يساوي كلا التكاملين الصفر تمامًا.
شرح الصيغة
لا توجد صيغة مغلقة ابتدائية لهذين التكاملين، لذا نلجأ إلى الحساب العددي. فمن أجل القيم المتوسطة نستخدم المتسلسلة الأسية السريعة التقارب: \(S(x) = \sum (-1)^n (\pi/2)^{2n+1} x^{4n+3} / [(2n+1)!\,(4n+3)]\)، مع متسلسلة مماثلة لحساب \(C(x)\). أما عند القيم الكبيرة لـ \(|x|\) فإن دالة التكامل تتذبذب بسرعة، لذا ننتقل إلى قاعدة سيمبسون المركّبة مع زيادة عدد الفترات الجزئية تناسبًا مع مربع \(x\) للحفاظ على الدقة.
مثال محلول (x = 1)
بجمع حدود المتسلسلة: \(0.52359878 - 0.09228062 + 0.00724487 - 0.00031216 + 0.00000845 + \ldots\) نحصل على \(S(1) \approx 0.4382591474\)، وهي قيمة مطابقة للقيمة المرجعية المنشورة \(0.4382591473903\). أما القيمة المرافقة فهي \(C(1) \approx 0.7798934004\).
الأسئلة الشائعة
أي اصطلاح للتطبيع يُستخدم هنا؟ نستخدم الصيغة المعيارية \(\pi/2\) التي يظهر فيها العامل \(\pi/2\) داخل دالتي الجيب وجيب التمام، ولذلك تكون النهايات مساوية لـ \(1/2\) بدلًا من أن تتضمن الجذر \(\sqrt{\pi/8}\).
ماذا يحدث عند القيم الكبيرة لـ \(x\)؟ تتذبذب \(S(x)\) و\(C(x)\) حول القيمة \(1/2\) بسعة متناقصة، وتتقاربان إلى \(1/2\) عندما تؤول \(x\) إلى اللانهاية (وإلى \(-1/2\) عندما تؤول \(x\) إلى سالب اللانهاية).
هل تُحسب \(C(x)\) أيضًا؟ نعم، تُعرض الدالة المرافقة جيب التمام \(C(x)\) كناتج ثانوي إلى جانب الناتج الأساسي \(S(x)\).
