फ्रेनेल साइन इंटीग्रल क्या है?
फ्रेनेल साइन इंटीग्रल \(S(x)\) और इसका साथी कोसाइन इंटीग्रल \(C(x)\) ऐसे विशेष फलन (special functions) हैं जो ऑप्टिक्स (फ्रेनेल विवर्तन), एंटीना सिद्धांत और कॉर्नू (यूलर) सर्पिल की ज्यामिति में बार-बार सामने आते हैं। यह कैलकुलेटर pi/2-सामान्यीकृत परिपाटी का उपयोग करता है, जिसमें \(S(x)\) को 0 से \(x\) तक \(\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)\,dt\) के समाकलन के रूप में परिभाषित किया जाता है, और \(C(x)\) को उसी समाकलन में कोसाइन के साथ। इस परिपाटी में जैसे-जैसे \(x\) धन अनंत की ओर बढ़ता है, दोनों फलन \(\tfrac{1}{2}\) के करीब पहुँचते हैं।
$$S(\text{x}) = \int_{0}^{\text{x}} \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\,t^{2}\right)\,dt$$
इसका उपयोग कैसे करें
\(x\) का कोई भी वास्तविक मान (धनात्मक या ऋणात्मक) दर्ज करें और चुनें कि परिणाम कितने दशमलव स्थानों तक दिखाया जाए। चूँकि समाकल्य (integrands) \(t\) में सम (even) होते हैं, इसलिए \(S(x)\) और \(C(x)\) विषम (odd) फलन हैं: \(S(-x) = -S(x)\) और \(C(-x) = -C(x)\)। कैलकुलेटर परिमाण की गणना करता है और चिह्न अपने आप लगा देता है। \(x = 0\) पर दोनों समाकलन ठीक \(0\) होते हैं।
सूत्र की व्याख्या
इसका कोई सरल बंद रूप (closed form) नहीं है, इसलिए हम संख्यात्मक रूप से गणना करते हैं। मध्यम मानों के लिए तेज़ी से अभिसरित होने वाली घात श्रेणी (power series) का उपयोग होता है: \(S(x) = \sum (-1)^{n} (\pi/2)^{2n+1} x^{4n+3} / [(2n+1)!\,(4n+3)]\) का योग, और \(C(x)\) के लिए भी इसी तरह की श्रेणी। बड़े \(|x|\) के लिए समाकल्य तेज़ी से दोलन करता है, इसलिए हम संयुक्त सिम्पसन नियम (composite Simpson's rule) पर स्विच कर देते हैं, जिसमें उपअंतरालों की संख्या को \(x^{2}\) के अनुपात में बढ़ाया जाता है ताकि सटीकता बनी रहे।
हल किया गया उदाहरण (x = 1)
श्रेणी का योग करने पर: \(0.52359878 - 0.09228062 + 0.00724487 - 0.00031216 + 0.00000845 + \dots\) से \(S(1)\) लगभग \(0.4382591474\) मिलता है, जो प्रकाशित संदर्भ मान \(0.4382591473903\) से मेल खाता है। साथी मान \(C(1)\) लगभग \(0.7798934004\) है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
कौन-सा सामान्यीकरण उपयोग होता है? pi/2-सामान्यीकृत रूप, जिसमें \(\pi/2\) गुणक साइन और कोसाइन के अंदर होता है, इसलिए सीमाएँ \(\sqrt{\pi/8}\) के बजाय \(\tfrac{1}{2}\) होती हैं।
बड़े x के लिए क्या होता है? \(S(x)\) और \(C(x)\), \(\tfrac{1}{2}\) के आसपास घटते आयाम के साथ दोलन करते हैं और जैसे-जैसे \(x\) अनंत की ओर जाता है \(\tfrac{1}{2}\) की ओर अभिसरित होते हैं (और ऋण अनंत की ओर जाने पर \(-\tfrac{1}{2}\) की ओर)।
क्या C(x) की भी गणना होती है? हाँ, मुख्य आउटपुट \(S(x)\) के साथ-साथ कोसाइन साथी \(C(x)\) को द्वितीयक आउटपुट के रूप में दिखाया जाता है।
