वर्ग पिरामिड का आयतन, पार्श्व क्षेत्रफल और पृष्ठीय क्षेत्रफल

गणना दर्ज करें

आधार भुजा की लंबाई a

ऊँचाई h

Enter both values in the same length unit. Results are in that unit (volume in unit³, areas in unit²).

सूत्र (फॉर्मूला)

Show calculation steps (3)

1. Slant Height

   

   Slant height from height and half the base edge

2. Lateral Area

   

   L = 2 times base edge times slant height; l is the slant height shown above

3. Total Surface Area

   

   Surface area = base area (a squared) plus lateral area

परिणाम

आयतन V

2,594,045.95

cubic units (unit³)

पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (साइड क्षेत्रफल) S_side	85,914.92 unit²
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल S	138,999.08 unit²
तिरछी ऊँचाई l (फलक अपोथेम)	186.4473 unit
Base area a²	53,084.16 unit²

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल किसी समकोणीय वर्ग पिरामिड का आयतन, पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (चारों त्रिभुजाकार भुजाओं का क्षेत्रफल) और कुल प␤ृष्ठीय क्षेत्रफल निकालता है। समकोणीय वर्ग पिरामिड का आधार वर्गाकार होता है और उसका शीर्ष (एपेक्स) ठीक आधार के केंद्र के ऊपर स्थित होता है। आपको बस दो माप चाहिए: आधार भुजा की लंबाई \(a\) और लंबवत ऊँचाई \(h\)।

एक लंब वर्गाकार पिरामिड, जो आधार भुजा a और ऊर्ध्वाधर ऊँचाई h से परिभाषित है।

इसका उपयोग कैसे करें

आधार भुजा की लंबाई और ऊँचाई, दोनों को एक ही लंबाई इकाई में दर्ज करें (या तो दोनों सेंटीमीटर में, या दोनों इंच में, इत्यादि)। परिणाम उसी इकाई के अनुसार आएँगे: आयतन घन इकाइयों में (इकाई³) और दोनों क्षेत्रफल वर्ग इकाइयों में (इकाई²)। वास्तविक पिरामिड के लिए दोनों मान शून्य से बड़े होने चाहिए।

सूत्रों की व्याख्या

आयतन, आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई के गुणनफल को तीन से भाग देकर मिलता है: $$V = \frac{1}{3}\,a^{2}\,h$$ भुजाओं का क्षेत्रफल निकालने के लिए सबसे पहले हमें तिरछी ऊँचाई (स्लांट हाइट) चाहिए, जो किसी त्रिभुजाकार फलक का अपोथेम है — यानी आधार भुजा के मध्यबिंदु से शीर्ष तक की दूरी: $$l = \sqrt{h^{2} + \left(\frac{a}{2}\right)^{2}}$$ प्रत्येक त्रिभुजाकार फलक का क्षेत्रफल \(\frac{1}{2} a l\) होता है, और ऐसे चार फलक होते हैं, इसलिए पार्श्व क्षेत्रफल $$S_{\text{side}} = 2 a l$$ होता है। इसमें वर्गाकार आधार जोड़ने पर कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $$S = a^{2} + 2 a l$$ मिलता है। ध्यान रखें कि तिरछी ऊँचाई फलक के अपोथेम का उपयोग करती है, न कि लंबे पार्श्व किनारे (लेटरल एज) का।

तिर्यक ऊँचाई h और a/2 से बने समकोण त्रिभुज का कर्ण है।

हल किया गया उदाहरण

आधार भुजा \(a = 230.4\) और ऊँचाई \(h = 146.6\) के लिए: \(a^{2} = 53084.16\), इसलिए $$V = \frac{1}{3} \times 53084.16 \times 146.6 \approx 2{,}594{,}045.95 \text{ इकाई}^{3}$$ तिरछी ऊँचाई $$l = \sqrt{146.6^{2} + 115.2^{2}} = \sqrt{34762.6} \approx 186.4474$$ है। पार्श्व क्षेत्रफल \(2 \times 230.4 \times 186.4474 \approx 85{,}914.96\) इकाई² है, और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल \(53084.16 + 85914.96 \approx 138{,}999.12\) इकाई² है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या यह तिरछे (ओब्लिक) पिरामिड के लिए काम करता है? आयतन का सूत्र \(V = \frac{1}{3} a^{2} h\) किसी भी ऐसे पिरामिड पर लागू होता है जिसका आधार और ऊँचाई समान हो, लेकिन पार्श्व-क्षेत्रफल का सूत्र यह मानकर चलता है कि पिरामिड समकोणीय है और उसका शीर्ष केंद्र के ठीक ऊपर है।

तिरछी ऊँचाई और पार्श्व किनारे में क्या अंतर है? तिरछी ऊँचाई (फलक का अपोथेम) \(\sqrt{h^{2} + \left(\frac{a}{2}\right)^{2}}\) है और यहाँ इसी का उपयोग होता है। पार्श्व किनारा (लेटरल एज) आधार के किसी कोने से शीर्ष तक जाता है और यह \(\sqrt{h^{2} + \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^{2}}\) के बराबर होता है; इन दोनों में भ्रमित न हों।

मुझे कौन-सी इकाई उपयोग करनी चाहिए? कोई भी एक लंबाई इकाई चलेगी, बशर्ते दोनों इनपुट उसी इकाई में हों; तब परिणाम स्वतः ही उसी इकाई, उसके वर्ग और उसके घन में मिलेंगे।