लघुगणकीय समाकल li(x) क्या है?
लघुगणकीय समाकल फलन, जिसे \(\operatorname{li}(x)\) लिखा जाता है, एक विशेष फलन है जिसे 0 से x तक \(1/\ln(t)\) के समाकल के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में सर्वत्र दिखाई देता है, और सबसे प्रसिद्ध रूप में अभाज्य संख्या प्रमेय (Prime Number Theorem) में अभाज्य-गणन फलन \(\pi(x)\) के मुख्य सन्निकटन के रूप में आता है: x से छोटी अभाज्य संख्याओं की संख्या लगभग \(\operatorname{li}(x)\) होती है। चूँकि समाकल्य (integrand) का \(t = 1\) पर एक ध्रुव (pole) है, इसलिए \(x > 1\) के लिए इस समाकल को कौशी मुख्य मान (Cauchy principal value) के रूप में लिया जाता है, जो कि इसकी मानक परिभाषा है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
कोई भी ऐसा वास्तविक मान x दर्ज करें जिसमें \(x > 0\) और \(x \ne 1\) हो। कैलकुलेटर \(\operatorname{li}(x)\) का मान पूर्ण द्विगुण परिशुद्धता (double precision) में लौटाता है (लगभग 15 सार्थक अंक)। 0 और 1 के बीच के x के मान एक परिमित ऋणात्मक परिणाम देते हैं; \(\operatorname{li}(0) = 0\) और \(\operatorname{li}(1) =\) ऋणात्मक अनंत (जिसे अपरिभाषित बताया जाता है)। \(x \le 0\) के लिए वास्तविक-मान वाला li अपरिभाषित होता है।
सूत्र की व्याख्या
यह उपकरण सर्वसमिका \(\operatorname{li}(x) = \operatorname{Ei}(\ln x)\) का उपयोग करता है, जहाँ Ei चरघातांकी समाकल (exponential integral) है। \(u = \ln(x)\) और ऑयलर-माशेरोनी स्थिरांक \(\gamma = 0.5772156649\) लेकर हम अभिसारी श्रेणी
$$\operatorname{li}(x) = \int_{0}^{x} \frac{dt}{\ln t} = \gamma + \ln\!\left|\ln x\right| + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(\ln x)^{k}}{k \cdot k!}$$का मान निकालते हैं। यह श्रेणी 0 के अतिरिक्त हर वास्तविक u के लिए अभिसरित होती है, और इसका योग तब तक किया जाता है जब तक प्रत्येक पद चल रहे योग के लगभग \(1\mathrm{e}{-18}\) से कम न हो जाए।
हल किया हुआ उदाहरण
\(x = 2\) के लिए: \(u = \ln(2) = 0.6931472\), \(\ln|u| = -0.3665129\), और श्रेणी का योग लगभग \(0.8344608\) आता है। इसमें gamma जोड़ने पर
$$\operatorname{li}(2) = 0.5772157 - 0.3665129 + 0.8344608 = 1.04516378$$मिलता है, जो ज्ञात संदर्भ मान \(1.0451637801\) से मेल खाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
li(1) अनंत क्यों है? जैसे-जैसे t ऊपर से 1 की ओर बढ़ता है, समाकल्य \(1/\ln(t)\) अनंत हो जाता है, इसलिए \(x = 1\) पर \(\operatorname{li}(x)\) ऋणात्मक अनंत की ओर जाता है।
li(x) कहाँ शून्य के बराबर होता है? रामानुजन-सोल्डनर स्थिरांक पर, \(x \approx 1.4513692349\)।
क्या li(x) और Li(x) एक ही हैं? ऑफसेट संस्करण \(\operatorname{Li}(x) = \operatorname{li}(x) - \operatorname{li}(2)\) का प्रयोग कभी-कभी इसलिए किया जाता है ताकि \(\operatorname{Li}(2) = 0\) हो जाए; यह कैलकुलेटर बिना ऑफसेट वाला \(\operatorname{li}(x)\) लौटाता है।
