यह निश्चित समाकलन कैलकुलेटर क्या करता है
यह टूल निश्चित समाकलन \(\int_a^b f(x)\,dx\) की गणना करता है — यानी किसी अंतराल पर वक्र और x-अक्ष के बीच का चिह्नित क्षेत्रफल। हर फलन का साफ-सुथरा बंद-रूप प्रति-अवकलज नहीं होता, इसलिए यह कैलकुलेटर एक मज़बूत संख्यात्मक विधि (संयुक्त सिम्पसन नियम) का इस्तेमाल करता है, जो चिकने फलनों के लिए बेहद सटीक परिणाम देती है। बस एक तैयार फलन चुनें, अपनी निचली और ऊपरी सीमा तय करें, उप-अंतरालों की संख्या चुनें और क्षेत्रफल पढ़ लें।
इसका उपयोग कैसे करें
सूची में से एक फलन \(f(x)\) चुनें। निचली सीमा \(a\) और ऊपरी सीमा \(b\) दर्ज करें। उप-अंतरालों की संख्या \(n\) तय करें (जितने ज़्यादा उप-अंतराल, उतनी ज़्यादा सटीकता; सिम्पसन नियम की आवश्यकता के अनुसार टूल \(n\) को अपने आप अगली सम संख्या तक बढ़ा देता है)। सबमिट करने पर आपको समाकलन का सन्निकट मान और इस्तेमाल किया गया चरण-आकार मिल जाएगा।
सूत्र
संयुक्त सिम्पसन नियम \([a,b]\) को \(h=\tfrac{b-a}{n}\) चौड़ाई के \(n\) बराबर टुकड़ों में बाँटता है और प्रतिचयन बिंदुओं को 1, 4, 2, 4, …, 4, 1 भार देता है:
$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4\sum_{\text{odd }i}f(x_i)+2\sum_{\text{even }i}f(x_i)+f(x_n)\right]$$जहाँ \(x_i = a + i\,h\), \(h=\frac{b-a}{n}\), और \(n\) सम है।
हल किया गया उदाहरण
\(n=2\) के साथ \(\int_0^2 x^2\,dx\) निकालें। यहाँ \(h=\frac{2-0}{2}=1\), और प्रतिचयन बिंदु \(x_0=0,\,x_1=1,\,x_2=2\) हैं:
$$\frac{1}{3}\left[0^2 + 4(1^2) + 2^2\right] = \frac{1}{3}\left[0 + 4 + 4\right] = \frac{8}{3} \approx 2.6667$$यह सटीक उत्तर \(\tfrac{8}{3}\) से बिल्कुल मेल खाता है — सिम्पसन नियम घात 3 तक के बहुपदों के लिए पूरी तरह सटीक होता है।
समर्थित कार्यों के सटीक समाकलन
कैलकुलेटर प्रत्येक समाकलन को संख्यात्मक रूप से अनुमानित करता है, लेकिन हर समर्थित कार्य का एक ज्ञात बंद-रूप प्रतिअवकलज \(F(x)\) है जो \(F'(x)=f(x)\) को संतुष्ट करता है। कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा सटीक मान है \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\)। संख्यात्मक उत्तर की जांच करने या यह समझने के लिए नीचे दी गई तालिका का उपयोग करें कि एक कार्य कहां अपरिभाषित है।
| मेनू मान | \(f(x)\) | प्रतिअवकलज \(F(x)\) | डोमेन प्रतिबंध |
|---|---|---|---|
| x2 | \(x^2\) | \(\dfrac{x^3}{3}\) | सभी वास्तविक \(x\) |
| x3 | \(x^3\) | \(\dfrac{x^4}{4}\) | सभी वास्तविक \(x\) |
| inv | \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\neq 0\); अंतराल 0 को पार नहीं कर सकता या स्पर्श नहीं कर सकता |
| sqrt | \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{2}{3}x^{3/2}\) | \(x\ge 0\) |
| exp | \(e^{x}\) | \(e^{x}\) | सभी वास्तविक \(x\) |
| ln | \(\ln x\) | \(x\ln x - x\) | \(x>0\) |
| sin | \(\sin x\) | \(-\cos x\) | सभी वास्तविक \(x\) (रेडियन) |
| cos | \(\cos x\) | \(\sin x\) | सभी वास्तविक \(x\) (रेडियन) |
एक कार्य की गई जांच के रूप में, \(\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3} = \) 0.3333। चूंकि \(x^2\) डिग्री 2 का एक बहुपद है, Simpson का नियम सबसे छोटे \(n=2\) पर भी इस मान को बिल्कुल सही देता है।
मुख्य शर्तें
- निश्चित समाकलन — राशि \(\int_a^b f(x)\,dx\), एक एकल संख्या जो सीमाओं \(a\) और \(b\) के बीच \(f\) का शुद्ध (हस्ताक्षरित) संचय देती है।
- हस्ताक्षरित क्षेत्र — समाकलन का मान \(x\)-अक्ष के ऊपर के क्षेत्र को सकारात्मक और इसके नीचे के क्षेत्र को नकारात्मक के रूप में गिनता है, इसलिए क्षेत्र रद्द कर सकते हैं; परिणाम आवश्यक रूप से कुल ज्यामितीय क्षेत्र नहीं है।
- उप-अंतराल — \(n\) समान भागों में से एक जिसमें \([a,b]\) विभाजित है; Simpson का नियम क्रमागत उप-अंतरालों की प्रत्येक जोड़ी के पार एक परवलय को फिट करता है।
- चरण आकार \(h\) — प्रत्येक उप-अंतराल की सामान्य चौड़ाई, \(h=\dfrac{b-a}{n}\); छोटा \(h\) आम तौर पर अधिक सटीक सन्निकटन देता है।
- नमूना बिंदु \(x_i\) — \(n+1\) समान रूप से दूरस्थ नोड्स \(x_i = a + i\,h\) जहाँ \(i = 0,1,\ldots,n\), जहां फ़ंक्शन का मूल्यांकन किया जाता है।
- सम \(n\) आवश्यकता — Simpson का नियम उप-अंतरालों को परवलयिक चापों में जोड़ता है, इसलिए उप-अंतरालों की संख्या \(n\) सम होनी चाहिए; भारण पैटर्न \(1,4,2,4,2,\ldots,4,1\) है।
- प्रतिअवकलज — एक फ़ंक्शन \(F(x)\) जिसमें \(F'(x)=f(x)\) है; जब एक ज्ञात हो, तो सटीक समाकलन \(F(b)-F(a)\) है, जिसे संख्यात्मक अनुमान अनुमानित करता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
कौन-कौन से फलन समर्थित हैं? एक चुना हुआ समूह: \(x^2\), \(x^3\), \(1/x\), \(\sqrt{x}\), \(e^x\), \(\ln x\), \(\sin x\), और \(\cos x\)। त्रिकोणमितीय फलन रेडियन में काम करते हैं।
\(n\) का सम होना ज़रूरी क्यों है? सिम्पसन नियम उप-अंतरालों को जोड़ियों में बाँटकर परवलयाकार चाप बनाता है, इसलिए इसे सम संख्या चाहिए। टूल विषम इनपुट को एक बढ़ाकर सम कर देता है।
क्या परिणाम पूर्णतः सटीक होता है? घन (cubic) तक के बहुपदों के लिए यह वस्तुतः सटीक होता है; बाकी फलनों के लिए यह एक बहुत करीबी संख्यात्मक सन्निकटन है, जो \(n\) बढ़ने के साथ और बेहतर होता जाता है।
