ما الذي تقوم به حاسبة التكامل المحدد
تحسب هذه الأداة التكامل المحدد \(\int_a^b f(x)\,dx\) — أي المساحة الموقّعة المحصورة بين منحنى الدالة ومحور السينات على فترة معيّنة. وبما أنّ ليس لكل دالة مشتقة عكسية بصيغة مغلقة أنيقة، تعتمد هذه الحاسبة على طريقة عددية قوية (قاعدة سيمبسون المركّبة) تمنحك نتائج بالغة الدقة للدوال الملساء. كل ما عليك هو اختيار إحدى الدوال الجاهزة، وتحديد الحد الأدنى والحد الأعلى، واختيار عدد الفترات الجزئية، ثم قراءة قيمة المساحة.
طريقة الاستخدام
اختر الدالة \(f(x)\) من القائمة. أدخِل الحد الأدنى \(a\) والحد الأعلى \(b\). حدّد عدد الفترات الجزئية \(n\) (كلما زاد العدد زادت الدقة؛ وتقوم الأداة تلقائيًا بتقريب \(n\) إلى أقرب عدد زوجي أعلى، كما تشترط قاعدة سيمبسون). اضغط لاستخراج القيمة التقريبية للتكامل إلى جانب مقدار الخطوة المستخدَم.
الصيغة
تقسّم قاعدة سيمبسون المركّبة الفترة \([a,b]\) إلى \(n\) أجزاء متساوية عرض كلٍّ منها \(h=\tfrac{b-a}{n}\)، ثم تُرجّح نقاط العيّنة بالأوزان 1، 4، 2، 4، …، 4، 1:
$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4\sum_{\text{odd }i}f(x_i)+2\sum_{\text{even }i}f(x_i)+f(x_n)\right]$$حيث \(x_i = a + i\,h\) و\(h=\frac{b-a}{n}\)، و\(n\) عدد زوجي.
مثال محلول
لنحسب \(\int_0^2 x^2\,dx\) باستخدام \(n=2\). هنا \(h=\frac{2-0}{2}=1\)، ونقاط العيّنة هي \(x_0=0,\,x_1=1,\,x_2=2\):
$$\frac{1}{3}\left[0^2 + 4(1^2) + 2^2\right] = \frac{1}{3}\left[0 + 4 + 4\right] = \frac{8}{3} \approx 2.6667$$وهذه النتيجة تطابق القيمة الدقيقة \(\tfrac{8}{3}\) — فقاعدة سيمبسون دقيقة تمامًا لكثيرات الحدود حتى الدرجة الثالثة.
التكاملات الدقيقة للدوال المدعومة
تحسب الآلة الحاسبة كل تكامل بشكل تقريبي، لكن كل دالة مدعومة لها مشتق عكسي معروف بالشكل المغلق \(F(x)\) يحقق \(F'(x)=f(x)\). بموجب النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، القيمة الدقيقة هي \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\). استخدم الجدول أدناه للتحقق من الإجابة العددية أو لفهم أين تكون الدالة غير محددة.
| قيمة القائمة | \(f(x)\) | المشتق العكسي \(F(x)\) | قيد المجال |
|---|---|---|---|
| x2 | \(x^2\) | \(\dfrac{x^3}{3}\) | جميع الأعداد الحقيقية \(x\) |
| x3 | \(x^3\) | \(\dfrac{x^4}{4}\) | جميع الأعداد الحقيقية \(x\) |
| inv | \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\neq 0\); يجب ألا يعبر الفترة أو يلمس الصفر |
| sqrt | \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{2}{3}x^{3/2}\) | \(x\ge 0\) |
| exp | \(e^{x}\) | \(e^{x}\) | جميع الأعداد الحقيقية \(x\) |
| ln | \(\ln x\) | \(x\ln x - x\) | \(x>0\) |
| sin | \(\sin x\) | \(-\cos x\) | جميع الأعداد الحقيقية \(x\) (بالراديان) |
| cos | \(\cos x\) | \(\sin x\) | جميع الأعداد الحقيقية \(x\) (بالراديان) |
كتحقق عملي، \(\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3} = \) 0.3333. لأن \(x^2\) هي كثيرة حدود من الدرجة الثانية، قاعدة سيمبسون تعيد هذه القيمة بدقة حتى عند أصغر قيمة \(n=2\).
المصطلحات الرئيسية
- التكامل المحدد — الكمية \(\int_a^b f(x)\,dx\)، عدد واحد يعطي التراكم الصافي (المعروض) للدالة \(f\) بين الحدود \(a\) و \(b\).
- المساحة الموقعة — قيمة التكامل تحسب المساحة فوق محور \(x\) كموجبة والمساحة أسفله كسالبة، لذا يمكن للمناطق أن تلغي بعضها؛ النتيجة ليست بالضرورة المساحة الهندسية الكلية.
- الفترة الجزئية — واحد من \(n\) قطعة متساوية يتم فيها تقسيم \([a,b]\)؛ قاعدة سيمبسون تناسب قطعًا مكافئة عبر كل زوج متتالي من الفترات الجزئية.
- حجم الخطوة \(h\) — العرض المشترك لكل فترة جزئية، \(h=\dfrac{b-a}{n}\)؛ أصغر قيمة \(h\) بشكل عام تعطي تقريبًا أكثر دقة.
- نقاط العينة \(x_i\) — العُقد \(n+1\) المتباعدة بالتساوي \(x_i = a + i\,h\) لـ \(i = 0,1,\ldots,n\)، حيث يتم تقييم الدالة.
- متطلب \(n\) الزوجي — قاعدة سيمبسون تزاوج الفترات الجزئية إلى أقواس مكافئة، لذا يجب أن يكون عدد الفترات الجزئية \(n\) زوجيًا؛ نمط الأوزان هو \(1,4,2,4,2,\ldots,4,1\).
- المشتق العكسي — دالة \(F(x)\) بحيث \(F'(x)=f(x)\)؛ عندما تكون معروفة، التكامل الدقيق هو \(F(b)-F(a)\)، والذي يقارب التقدير العددي.
الأسئلة الشائعة
ما الدوال المدعومة؟ مجموعة مختارة بعناية: \(x^2\)، \(x^3\)، \(1/x\)، \(\sqrt{x}\)، \(e^x\)، \(\ln x\)، \(\sin x\)، و\(\cos x\). وتُستخدم الزوايا بالراديان في الدوال المثلثية.
لماذا يجب أن يكون \(n\) زوجيًا؟ لأنّ قاعدة سيمبسون تجمع الفترات الجزئية في أزواج على هيئة أقواس مكافئة، ولذلك تحتاج إلى عدد زوجي. وتقوم الأداة بتقريب القيم الفردية بزيادة واحد.
هل النتيجة دقيقة تمامًا؟ بالنسبة لكثيرات الحدود حتى الدرجة الثالثة تكون دقيقة عمليًا؛ أمّا بقية الدوال فتكون النتيجة تقريبًا عدديًا بالغ القرب يزداد دقة كلما كبر \(n\).
