この定積分計算ツールでできること
このツールは定積分 \(\int_a^b f(x)\,dx\)、すなわち区間内で曲線とx軸の間にできる符号付き面積を計算します。すべての関数にきれいな原始関数（不定積分）が存在するわけではないため、本ツールでは堅牢な数値計算法である合成シンプソン公式を採用しており、滑らかな関数に対して非常に高い精度の結果が得られます。組み込みの関数を選び、下限と上限を設定し、分割数を指定するだけで面積が求まります。
使い方
まずリストから関数 \(f(x)\) を選びます。次に下限 \(a\) と上限 \(b\) を入力します。続いて分割数 \(n\) を設定します（分割数が多いほど精度が上がります。シンプソン公式は偶数の分割を必要とするため、\(n\) は自動的に最も近い偶数へ切り上げられます）。実行すると、積分の近似値と使用された刻み幅が表示されます。
計算式
合成シンプソン公式では、区間 \([a,b]\) を幅 \(h=\tfrac{b-a}{n}\) の \(n\) 個の等区間に分割し、各サンプル点に 1, 4, 2, 4, …, 4, 1 という重みを掛けます。
$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4\sum_{\text{odd }i}f(x_i)+2\sum_{\text{even }i}f(x_i)+f(x_n)\right]$$ここで \(x_i = a + i\,h\)、\(h=\frac{b-a}{n}\) であり、\(n\) は偶数です。
計算例
\(n=2\) として \(\int_0^2 x^2\,dx\) を計算してみましょう。このとき \(h=\frac{2-0}{2}=1\)、サンプル点は \(x_0=0,\,x_1=1,\,x_2=2\) です。
$$\frac{1}{3}\left[0^2 + 4(1^2) + 2^2\right] = \frac{1}{3}\left[0 + 4 + 4\right] = \frac{8}{3} \approx 2.6667$$これは厳密解 \(\tfrac{8}{3}\) と一致します。シンプソン公式は3次までの多項式に対して厳密な値を返すからです。
サポートされている関数の厳密積分
計算機は各積分を数値的に近似しますが、サポートされているすべての関数には、\(F'(x)=f(x)\)を満たす既知の閉形式の原始関数\(F(x)\)があります。微積分学の基本定理により、厳密な値は\(\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\)です。下の表を使用して、数値回答を確認するか、関数がどこで定義されていないかを理解してください。
| メニュー値 | \(f(x)\) | 原始関数\(F(x)\) | 定義域の制限 |
|---|---|---|---|
| x2 | \(x^2\) | \(\dfrac{x^3}{3}\) | すべての実数\(x\) |
| x3 | \(x^3\) | \(\dfrac{x^4}{4}\) | すべての実数\(x\) |
| inv | \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\neq 0\)；区間は0を横断または接してはいけません |
| sqrt | \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{2}{3}x^{3/2}\) | \(x\ge 0\) |
| exp | \(e^{x}\) | \(e^{x}\) | すべての実数\(x\) |
| ln | \(\ln x\) | \(x\ln x - x\) | \(x>0\) |
| sin | \(\sin x\) | \(-\cos x\) | すべての実数\(x\)（ラジアン） |
| cos | \(\cos x\) | \(\sin x\) | すべての実数\(x\)（ラジアン） |
作成例として、\(\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3} = \) 0.3333です。\(x^2\)は2次の多項式であるため、シンプソンの法則は最小の\(n=2\)でもこの値を正確に返します。
重要な用語
- 定積分—量\(\int_a^b f(x)\,dx\)、制限値\(a\)と\(b\)の間の\(f\)の正味（符号付き）累積を与える単一の数値。
- 符号付き面積—積分の値はx軸の上の面積を正として、x軸の下の面積を負としてカウントするため、領域は相殺される可能性があります；結果は必ずしも総幾何面積ではありません。
- 小区間—\([a,b]\)を分割する\(n\)個の等しいピースの1つ；シンプソンの法則は連続する小区間の各ペアに放物線を適用します。
- ステップサイズ\(h\)—各小区間の共通幅、\(h=\dfrac{b-a}{n}\)；より小さい\(h\)は一般的により正確な近似を与えます。
- サンプルポイント\(x_i\)—\(n+1\)個の等間隔のノード\(x_i = a + i\,h\)（\(i = 0,1,\ldots,n\)）、関数が評価される場所。
- 偶数\(n\)の要件—シンプソンの法則は小区間を放物線弧にペアリングするため、小区間の数\(n\)は偶数である必要があります；重み付けパターンは\(1,4,2,4,2,\ldots,4,1\)です。
- 原始関数—\(F'(x)=f(x)\)を持つ関数\(F(x)\)；1つが既知の場合、厳密な積分は\(F(b)-F(a)\)であり、数値推定がこれを近似します。
よくある質問
どの関数に対応していますか？ 厳選した次の関数に対応しています：\(x^2\)、\(x^3\)、\(1/x\)、\(\sqrt{x}\)、\(e^x\)、\(\ln x\)、\(\sin x\)、\(\cos x\)。三角関数の引数はラジアンです。
なぜ \(n\) は偶数でなければならないのですか？ シンプソン公式は隣り合う2つの小区間を1組にして放物線で近似するため、分割数は偶数である必要があります。奇数を入力した場合は1だけ切り上げられます。
結果は厳密な値ですか？ 3次までの多項式についてはほぼ厳密です。それ以外の関数では非常に精度の高い数値近似となり、\(n\) を大きくするほど精度が向上します。
