Qué hace la calculadora de integrales definidas
Esta herramienta calcula la integral definida \(\int_a^b f(x)\,dx\), es decir, el área con signo entre una curva y el eje x a lo largo de un intervalo. Como no todas las funciones tienen una primitiva expresable de forma cerrada, esta calculadora emplea un método numérico robusto (la regla de Simpson compuesta) que ofrece resultados muy precisos para funciones suaves. Solo tienes que elegir una de las funciones disponibles, fijar los límites inferior y superior, indicar cuántos subintervalos quieres usar y leer el área resultante.
Cómo utilizarla
Selecciona una función \(f(x)\) de la lista. Introduce el límite inferior \(a\) y el límite superior \(b\). Define el número de subintervalos \(n\) (cuantos más subintervalos, mayor precisión; la herramienta redondea automáticamente \(n\) al número par más cercano hacia arriba, tal como exige la regla de Simpson). Pulsa para obtener el valor aproximado de la integral junto con el tamaño de paso utilizado.
La fórmula
La regla de Simpson compuesta divide \([a,b]\) en \(n\) tramos iguales de ancho \(h=\tfrac{b-a}{n}\) y pondera los puntos de muestreo con los coeficientes 1, 4, 2, 4, …, 4, 1:
$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4\sum_{\text{odd }i}f(x_i)+2\sum_{\text{even }i}f(x_i)+f(x_n)\right]$$donde \(x_i = a + i\,h\), \(h=\frac{b-a}{n}\) y \(n\) es par.
Ejemplo resuelto
Calculemos \(\int_0^2 x^2\,dx\) con \(n=2\). Aquí \(h=\frac{2-0}{2}=1\), y los puntos de muestreo son \(x_0=0,\,x_1=1,\,x_2=2\):
$$\frac{1}{3}\left[0^2 + 4(1^2) + 2^2\right] = \frac{1}{3}\left[0 + 4 + 4\right] = \frac{8}{3} \approx 2.6667$$Coincide con el resultado exacto \(\tfrac{8}{3}\): la regla de Simpson es exacta para polinomios de hasta grado 3.
Integrales exactas de las funciones admitidas
La calculadora aproxima cada integral numéricamente, pero cada función admitida tiene una antiderivada de forma cerrada conocida \(F(x)\) que satisface \(F'(x)=f(x)\). Por el Teorema Fundamental del Cálculo, el valor exacto es \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\). Utiliza la tabla a continuación para verificar la respuesta numérica o para entender dónde una función está indefinida.
| Valor del menú | \(f(x)\) | Antiderivada \(F(x)\) | Restricción del dominio |
|---|---|---|---|
| x2 | \(x^2\) | \(\dfrac{x^3}{3}\) | Todos los reales \(x\) |
| x3 | \(x^3\) | \(\dfrac{x^4}{4}\) | Todos los reales \(x\) |
| inv | \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\neq 0\); el intervalo no debe cruzar ni tocar 0 |
| sqrt | \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{2}{3}x^{3/2}\) | \(x\ge 0\) |
| exp | \(e^{x}\) | \(e^{x}\) | Todos los reales \(x\) |
| ln | \(\ln x\) | \(x\ln x - x\) | \(x>0\) |
| sin | \(\sin x\) | \(-\cos x\) | Todos los reales \(x\) (radianes) |
| cos | \(\cos x\) | \(\sin x\) | Todos los reales \(x\) (radianes) |
Como verificación de un ejemplo, \(\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3} = \) 0.3333. Dado que \(x^2\) es un polinomio de grado 2, la regla de Simpson devuelve este valor exactamente incluso con el menor \(n=2\).
Términos clave
- Integral definida — la cantidad \(\int_a^b f(x)\,dx\), un solo número que da la acumulación neta (con signo) de \(f\) entre los límites \(a\) y \(b\).
- Área con signo — el valor de la integral cuenta el área por encima del eje \(x\) como positiva y el área por debajo como negativa, de modo que las regiones pueden cancelarse; el resultado no es necesariamente el área geométrica total.
- Subintervalo — uno de los \(n\) trozos iguales en los que se divide \([a,b]\); la regla de Simpson ajusta una parábola a través de cada par de subintervalos consecutivos.
- Tamaño de paso \(h\) — el ancho común de cada subintervalo, \(h=\dfrac{b-a}{n}\); un \(h\) más pequeño generalmente da una aproximación más precisa.
- Puntos de muestra \(x_i\) — los \(n+1\) nodos espaciados uniformemente \(x_i = a + i\,h\) para \(i = 0,1,\ldots,n\), donde se evalúa la función.
- Requisito de \(n\) par — la regla de Simpson empareja subintervalos en arcos parabólicos, así que el número de subintervalos \(n\) debe ser par; el patrón de ponderación es \(1,4,2,4,2,\ldots,4,1\).
- Antiderivada — una función \(F(x)\) con \(F'(x)=f(x)\); cuando se conoce una, la integral exacta es \(F(b)-F(a)\), que la estimación numérica aproxima.
Preguntas frecuentes
¿Qué funciones admite? Un conjunto seleccionado: \(x^2\), \(x^3\), \(1/x\), \(\sqrt{x}\), \(e^x\), \(\ln x\), \(\sin x\) y \(\cos x\). Las funciones trigonométricas trabajan en radianes.
¿Por qué \(n\) debe ser par? La regla de Simpson agrupa los subintervalos por parejas para ajustar arcos parabólicos, así que necesita un número par. Si introduces un valor impar, la herramienta lo aumenta en una unidad.
¿El resultado es exacto? Para polinomios de hasta grado 3 es prácticamente exacto; para el resto de funciones es una aproximación numérica muy precisa que mejora a medida que aumenta \(n\).
