定積分計算機能做什麼
這個工具可計算定積分 \(\int_a^b f(x)\,dx\)，也就是曲線與 x 軸之間在某區間內的有號面積。由於並非每個函數都有簡潔的反導函數（不定積分），本計算機採用穩定可靠的數值方法（複合辛普森法，Composite Simpson Rule），對於平滑函數能提供相當精確的結果。只要選定內建函數、設定積分下限與上限、決定要切成多少個子區間，就能讀出面積。
使用方式
先從清單中挑選一個函數 \(f(x)\)，輸入下限 \(a\) 與上限 \(b\)，再設定子區間數量 \(n\)（子區間越多，結果越精確；由於辛普森法要求 \(n\) 必須為偶數，工具會自動將 \(n\) 向上進位至最接近的偶數）。送出後即可得到積分的近似值以及所使用的步長。
計算公式
複合辛普森法將區間 \([a,b]\) 分成 \(n\) 等份，每份寬度為 \(h=\tfrac{b-a}{n}\)，並對取樣點依序給予 1、4、2、4、…、4、1 的權重：
$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[f(x_0)+4\sum_{\text{odd }i}f(x_i)+2\sum_{\text{even }i}f(x_i)+f(x_n)\right]$$其中 \(x_i = a + i\,h\)，\(h=\frac{b-a}{n}\)，且 \(n\) 為偶數。
實際範例
計算 \(\int_0^2 x^2\,dx\)，取 \(n=2\)。此時 \(h=\frac{2-0}{2}=1\)，取樣點為 \(x_0=0,\,x_1=1,\,x_2=2\)：
$$\frac{1}{3}\left[0^2 + 4(1^2) + 2^2\right] = \frac{1}{3}\left[0 + 4 + 4\right] = \frac{8}{3} \approx 2.6667$$這個結果與精確答案 \(\tfrac{8}{3}\) 完全吻合——辛普森法對於三次（含）以下的多項式都能得出精確值。
支持函數的精確積分
計算器以數值方式逼近每個積分，但每個支持的函數都有一個已知的閉式反導函數 \(F(x)\) 滿足 \(F'(x)=f(x)\)。根據微積分基本定理，精確值為 \(\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)\)。使用下表檢查數值答案或了解函數在何處未定義。
| 菜單值 | \(f(x)\) | 反導函數 \(F(x)\) | 定義域限制 |
|---|---|---|---|
| x2 | \(x^2\) | \(\dfrac{x^3}{3}\) | 所有實數 \(x\) |
| x3 | \(x^3\) | \(\dfrac{x^4}{4}\) | 所有實數 \(x\) |
| inv | \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(x\neq 0\)；區間不得越過或接觸 0 |
| sqrt | \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{2}{3}x^{3/2}\) | \(x\ge 0\) |
| exp | \(e^{x}\) | \(e^{x}\) | 所有實數 \(x\) |
| ln | \(\ln x\) | \(x\ln x - x\) | \(x>0\) |
| sin | \(\sin x\) | \(-\cos x\) | 所有實數 \(x\)（弧度） |
| cos | \(\cos x\) | \(\sin x\) | 所有實數 \(x\)（弧度） |
作為已驗證的例子，\(\int_0^1 x^2\,dx = \dfrac{1^3}{3}-\dfrac{0^3}{3} = \) 0.3333。因為 \(x^2\) 是 2 次多項式，辛普森法則即使在最小 \(n=2\) 時也能精確返回此值。
關鍵術語
- 定積分 — 量 \(\int_a^b f(x)\,dx\)，一個單一的數字，給出 \(f\) 在極限 \(a\) 和 \(b\) 之間的淨（帶符號）累積。
- 帶符號面積 — 積分的值將 \(x\) 軸上方的面積計為正，下方的面積計為負，因此各區域可能相互抵消；結果不一定是總幾何面積。
- 子區間 — \([a,b]\) 被分成 \(n\) 個相等的片段之一；辛普森法則在每對連續子區間上擬合一條拋物線。
- 步長 \(h\) — 每個子區間的公共寬度，\(h=\dfrac{b-a}{n}\)；較小的 \(h\) 通常會給出更精確的逼近。
- 樣本點 \(x_i\) — \(n+1\) 個均勻間隔的節點 \(x_i = a + i\,h\)（其中 \(i = 0,1,\ldots,n\)），函數在這些點進行求值。
- 偶數 \(n\) 的要求 — 辛普森法則將子區間配對成拋物線弧，因此子區間數 \(n\) 必須為偶數；權重模式為 \(1,4,2,4,2,\ldots,4,1\)。
- 反導函數 — 一個函數 \(F(x)\) 滿足 \(F'(x)=f(x)\)；當已知一個反導函數時，精確積分為 \(F(b)-F(a)\)，這是數值估計所逼近的值。
常見問題
支援哪些函數？精選了以下幾種：\(x^2\)、\(x^3\)、\(1/x\)、\(\sqrt{x}\)、\(e^x\)、\(\ln x\)、\(\sin x\) 與 \(\cos x\)。三角函數一律以弧度（radian）計算。
為什麼 \(n\) 必須是偶數？辛普森法會將相鄰的子區間兩兩配對，以拋物線弧段來近似，因此子區間數量必須為偶數。若輸入奇數，工具會自動加 1 進位為偶數。
結果是精確值嗎？對於三次以下的多項式，結果基本上是精確的；對於其他函數，則是非常接近的數值近似值，且隨著 \(n\) 增大會越來越準確。
