什麼是指數積分 Eₙ(x)？
廣義指數積分 \(E_{n}(x)\) 是一個標準的特殊函數，定義為 \(e^{-x\cdot t}/t^{n}\) 對 \(t\) 從 1 積分到無窮大的結果。它廣泛出現在應用數學、物理學（尤其是輻射傳輸與中子輸運）以及工程領域。其中參數 \(n\) 為整數階數，\(x\) 為實數引數。當 \(n = 1\) 時，它會化簡為經典的指數積分，關係為 \(E_{1}(x) = -\operatorname{Ei}(-x)\)。
如何使用本計算器
請將階數 n 填入一個非負整數（0、1、2、3……），並將引數 x 填入一個實數。按下「計算」後，即可得到雙精度（約 15 位有效數字）的 \(E_{n}(x)\) 結果。只有當 \(x\) 大於或等於 0 時，函數才會是實數值。對於 \(n = 0\) 或 \(n = 1\)，引數必須為嚴格正數，因為兩者在 \(x\) 趨近 0 時都會發散；而當 \(n\) 大於或等於 2 時，\(x = 0\) 處的值為有限值，等於 \(1/(n-1)\)。
公式與演算法
定義積分為 $$E_{n}(x) = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-x\cdot t}}{t^{n}}\,dt.$$ 本程式採用數值穩定的「expint」演算法：當 \(x > 1\) 時，使用 Lentz 連分數法；當 \(0 < x \le 1\) 時，則使用含有歐拉–馬斯刻若尼常數 \(\gamma \approx 0.5772156649\) 的收斂冪級數。特殊情況則直接處理：\(E_{0}(x) = e^{-x}/x\)，以及當 \(n \ge 2\) 時 \(E_{n}(0) = 1/(n-1)\)。
實例演算
以預設值 \(n = 2\)、\(x = 1\) 為例。由於 \(x \le 1\)，因此採用冪級數計算，\(\text{nm1} = 1\)。級數從 1 開始，後續各項（\(-0.4227843\)、\(-0.5\)、\(+0.0833333\)、\(-0.0138889\)……）累加後得到 \(E_{2}(1) \approx 0.1484955\)。作為驗證，\(E_{2}(0) = 1/(2-1) = 1\)，而 \(E_{1}(1) \approx 0.2193839\)。
常見問題
為什麼輸入負的 x 會出現錯誤？當 \(x < 0\) 時，函數並非實數值，因此計算器會將其標示為未定義。
x = 0 時會發生什麼？當 \(n \ge 2\) 時，結果為 \(1/(n-1)\)；當 \(n = 0\) 或 \(n = 1\) 時，函數會發散，所以 \(x\) 必須為正數。
計算結果有多精確？雙精度運算可提供約 15 位有效數字，對於一般科學與工程應用而言已綽綽有餘。
