Qu'est-ce que l'intégrale exponentielle Eₙ(x) ?
L'intégrale exponentielle généralisée \(E_{n}(x)\) est une fonction spéciale classique, définie comme l'intégrale de \(e^{-x\cdot t}/t^{n}\) par rapport à \(t\), de 1 jusqu'à l'infini. On la rencontre dans de nombreux domaines des mathématiques appliquées, de la physique (en particulier le transfert radiatif et le transport des neutrons) et de l'ingénierie. Le paramètre \(n\) désigne l'ordre entier, tandis que \(x\) est l'argument réel. Pour \(n = 1\), elle se ramène à l'intégrale exponentielle classique via la relation \(E_{1}(x) = -\operatorname{Ei}(-x)\).
Comment utiliser ce calculateur
Saisissez l'ordre n sous la forme d'un entier positif ou nul (0, 1, 2, 3, …) et l'argument x sous la forme d'un nombre réel. Lancez le calcul pour obtenir \(E_{n}(x)\) en double précision (environ 15 chiffres significatifs). La fonction ne prend de valeurs réelles que lorsque \(x\) est supérieur ou égal à 0. Pour \(n = 0\) ou \(n = 1\), l'argument doit être strictement positif, car les deux divergent lorsque \(x\) tend vers 0 ; pour \(n\) supérieur ou égal à 2, la valeur en \(x = 0\) est finie et vaut \(1/(n-1)\).
La formule et l'algorithme
L'intégrale qui définit la fonction s'écrit $$E_{n}(x) = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-x\,t}}{t^{\,n}}\,dt$$ Cette implémentation reprend la routine « expint », réputée pour sa stabilité numérique : pour \(x > 1\), elle s'appuie sur une fraction continue évaluée par l'algorithme de Lentz ; pour \(0 < x \le 1\), elle utilise une série entière convergente faisant intervenir la constante d'Euler–Mascheroni \(\gamma \approx 0{,}5772156649\). Les cas particuliers sont traités directement : \(E_{0}(x) = e^{-x}/x\) et \(E_{n}(0) = 1/(n-1)\) pour \(n \ge 2\).
Exemple détaillé
Reprenons les valeurs par défaut \(n = 2\) et \(x = 1\). Comme \(x \le 1\), on utilise la série entière avec \(nm1 = 1\). La série démarre à 1 et les termes successifs \((-0{,}4227843,\ -0{,}5,\ +0{,}0833333,\ -0{,}0138889,\ \ldots)\) s'accumulent pour donner $$E_{2}(1) \approx 0{,}1484955$$ À titre de vérification, \(E_{2}(0) = 1/(2-1) = 1\), et \(E_{1}(1) \approx 0{,}2193839\).
FAQ
Pourquoi une erreur s'affiche-t-elle pour x négatif ? La fonction ne prend pas de valeurs réelles lorsque \(x < 0\) ; le calculateur la signale donc comme non définie.
Que se passe-t-il en x = 0 ? Pour \(n \ge 2\), le résultat vaut \(1/(n-1)\) ; pour \(n = 0\) ou \(n = 1\), la fonction diverge, et \(x\) doit donc être strictement positif.
Quelle est la précision du résultat ? L'arithmétique en double précision offre environ 15 chiffres significatifs, ce qui dépasse largement les besoins des travaux scientifiques et techniques courants.
