نتائج

التكامل الأسي E_n(x)

٠٫١٤٨٤٩٥٥٠٦٨

بلا أبعاد

التعريف	E_n(x) = تكامل e^(−x t) / t^n من 1 إلى ما لا نهاية

ما هو التكامل الأسي Eₙ(x)؟

التكامل الأسي المعمّم $E_{\text{n}}(\text{x})$ هو دالة خاصة قياسية تُعرَّف بأنها تكامل المقدار $e^{-\text{x}\,t}/t^{\,\text{n}}$ بالنسبة إلى $t$ من 1 إلى ما لا نهاية. ويظهر هذا التكامل بكثرة في الرياضيات التطبيقية والفيزياء — وخاصة في انتقال الإشعاع ونقل النيوترونات — وكذلك في الهندسة. هنا تمثّل $n$ الرتبة الصحيحة، بينما $x$ هو الوسيط الحقيقي. وعند $n = 1$ يؤول إلى التكامل الأسي الكلاسيكي عبر العلاقة $E_1(\text{x}) = -\text{Ei}(-\text{x})$.

منحنى متناقص فوق منطقة مظللة تمثل التكامل الذي يعرّف En(x) — ‏Eₙ(x) هي المساحة تحت e^(−x t)/t^n من t = 1 إلى ما لا نهاية.

طريقة استخدام الحاسبة

أدخل الرتبة n كعدد صحيح غير سالب (0، 1، 2، 3، …)، وأدخل الوسيط x كعدد حقيقي. ثم اضغط على زر الحساب للحصول على قيمة $E_{\text{n}}(\text{x})$ بدقة مضاعفة (نحو 15 رقمًا معنويًا). تكون قيمة الدالة حقيقية فقط عندما يكون $x$ أكبر من أو يساوي 0. وعند $n = 0$ أو $n = 1$ يجب أن يكون الوسيط موجبًا تمامًا، لأن الدالة تتباعد كلما اقتربت $x$ من الصفر؛ أما عند $n$ أكبر من أو يساوي 2 فإن القيمة عند $x = 0$ تكون منتهية وتساوي $1/(n-1)$.

الصيغة والخوارزمية

التكامل المُعرِّف هو $$E_{\text{n}}(\text{x}) = \int_{1}^{\infty} \frac{e^{-\text{x}\,t}}{t^{\,\text{n}}}\,dt$$ ويتبع هذا التطبيق الإجراء الرقمي المستقر المعروف باسم «expint»: فعندما يكون $x > 1$ يستخدم كسرًا مستمرًا بطريقة Lentz، وعندما يكون $0 < x \le 1$ يستخدم متسلسلة قوى متقاربة تتضمن ثابت أويلر–ماسكيروني $\gamma \approx 0.5772156649$. أما الحالات الخاصة فتُعالَج مباشرة: $E_0(\text{x}) = e^{-\text{x}}/\text{x}$، و $E_{\text{n}}(0) = 1/(n-1)$ عندما $n \ge 2$.

مجموعة من المنحنيات تُظهر En(x) لعدة قيم من n — الرتب الأعلى n تعطي قيم Eₙ(x) أصغر وأسرع تناقصًا.

مثال محلول

لنأخذ القيمتين الافتراضيتين $n = 2$ و $x = 1$. وبما أن $x \le 1$، تُستخدم متسلسلة القوى مع $\text{nm1} = 1$. تبدأ المتسلسلة من 1، ثم تتراكم الحدود المتتالية ($-0.4227843$، $-0.5$، $+0.0833333$، $-0.0138889$، …) لتعطي $E_2(1) \approx 0.1484955$. وللتحقق من صحة النتيجة، لاحظ أن $E_2(0) = 1/(2-1) = 1$، وأن $E_1(1) \approx 0.2193839$.

الأسئلة الشائعة

لماذا تظهر رسالة خطأ عند إدخال x سالبة؟ الدالة ليست حقيقية القيمة عندما $x < 0$، لذا تعتبرها الحاسبة غير معرَّفة.

ماذا يحدث عند x = 0؟ عندما $n \ge 2$ تكون النتيجة $1/(n-1)$؛ أما عند $n = 0$ أو $n = 1$ فإن الدالة تتباعد، ولذلك يجب أن يكون $x$ موجبًا.

ما مدى دقة النتيجة؟ تمنح الحسابات بالدقة المضاعفة نحو 15 رقمًا معنويًا، وهو ما يفوق احتياجات الأعمال العلمية والهندسية المعتادة.

الآلات الحاسبة ذات الصلة

حاسبة جدول التكامل الأسي Ei(x)

أنشئ جدولًا لقيم التكامل الأسي Ei(x) عبر قيم x متساوية المسافات. حدّد البداية والخطوة وعدد النقاط، واحصل على كل زوج (x، Ei(x)) فورًا.

حاسبة تكامل الجيب الزائدي Shi(x)

احسب تكامل الجيب الزائدي Shi(x) = تكامل sinh(t)/t من 0 إلى x، إضافة إلى الدالة المرتبطة Chi(x)، باستخدام متسلسلة تايلور سريعة التقارب.

حاسبة جدول ورسم بياني للتكامل اللوغاريتمي li(x)

أنشئ جدولاً ورسماً بيانياً للتكامل اللوغاريتمي li(x) ضمن أي مدى. حدّد قيمة البداية ومقدار الزيادة وعدد النقاط لحساب li(x) = Ei(ln x).

حاسبة مجموع المتتالية الهندسية

احسب الحد النوني ومجموع أول n حدًا من المتتالية الهندسية انطلاقًا من الحد الأول a والأساس r وعدد الحدود n بسهولة ودقة.

حاسبة تكامل الجيب وجيب التمام الزائدي

احسب تكامل الجيب الزائدي Shi(x) وتكامل جيب التمام الزائدي Chi(x) على جدول من قيم x مع رسم بياني، باستخدام متسلسلة قوى سريعة الحساب.

حاسبة التكامل الأسي Eₙ(x)

أدخل الحساب

صيغة رياضية