ما هو تكامل الجيب Si(x)؟
تكامل الجيب، ويُرمز له بـ \(\operatorname{Si}(x)\)، هو دالة خاصة تُعرَّف بأنها التكامل المحدود للدالة \(\sin(t)/t\) من 0 إلى x. ورغم أن الدالة \(\sin(t)/t\) تبدو غير معرَّفة عند \(t = 0\)، إلا أن نهايتها عند تلك النقطة تساوي 1 تمامًا، ما يجعل دالة المُكامِل متصلة ويجعل \(\operatorname{Si}(0) = 0\). هذه أداة رياضية بحتة تُعطي النتائج نفسها في كل مكان، وهي غير مرتبطة بأي دولة أو منطقة.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخِل أي عدد حقيقي للقيمة x — سواء كان موجبًا أو سالبًا أو صفرًا — وستُعيد لك الحاسبة قيمة \(\operatorname{Si}(x)\). وبما أن Si دالة فردية، فإن \(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\)، أي أن القيم السالبة تعكس ببساطة نتيجة القيمة الموجبة. وكلما كبرت قيمة x، تذبذبت \(\operatorname{Si}(x)\) مقتربةً من النهاية \(\pi/2 \approx 1.5707963268\).
شرح الصيغة
نحسب \(\operatorname{Si}(x)\) باستخدام متسلسلة ماكلورين الأُسّية الخاصة بها:
$$\operatorname{Si}(x) = x - \frac{x^{3}}{3\cdot 3!} + \frac{x^{5}}{5\cdot 5!} - \frac{x^{7}}{7\cdot 7!} + \dots$$
يُولَّد كل حدّ تكراريًا من الحدّ السابق له عبر الضرب في \(-x^{2}/((2n)(2n+1))\) وقسمة القوة الفردية على \((2n+1)\). هذا الأسلوب يتجنّب حساب المضروبات (factorials) الكبيرة مباشرةً، ويحافظ على استقرار الحساب عند قيم |x| الصغيرة إلى المتوسطة.
مثال محلول
عند \(x = 1\) تُعطي المتسلسلة: $$1 - \frac{1}{18} + \frac{1}{600} - \frac{1}{35280} + \frac{1}{3265920} - \dots \approx 1 - 0.0555556 + 0.0016667 - 0.0000283 + 0.0000003 \approx 0.9460831.$$ أما القيمة المرجعية المعتمدة فهي \(\operatorname{Si}(1) = 0.9460830703671830\).
الأسئلة الشائعة
ما قيمة Si(0)؟ إنها صفر تمامًا، لأن التكامل من 0 إلى 0 يساوي صفرًا.
ما هي القيمة العظمى؟ تبلغ \(\operatorname{Si}(x)\) أول وأكبر قيمة عظمى محلية لها بالقرب من \(x = \pi\) (حيث \(\operatorname{Si}(\pi) \approx 1.8519\))، ثم تتذبذب مقتربةً من النهاية \(\pi/2\).
هل تعمل مع القيم السالبة لـ x؟ نعم — فدالة Si فردية، ولذا فإن \(\operatorname{Si}(-2) = -\operatorname{Si}(2) \approx -1.6054\).
