사인 적분 Si(x)란?
사인 적분(sine integral)은 \(\operatorname{Si}(x)\)로 표기하며, \(\sin(t)/t\)를 0부터 x까지 정적분한 값으로 정의되는 특수함수입니다. \(\sin(t)/t\)는 \(t = 0\)에서 정의되지 않는 것처럼 보이지만, 그 극한값이 정확히 1이므로 피적분 함수는 연속이며 \(\operatorname{Si}(0) = 0\)이 됩니다. 이는 순수 수학 도구로서 어디에서나 동일한 결과를 주며, 특정 국가나 지역에 종속되지 않습니다.
계산기 사용법
x에 임의의 실수(양수, 음수, 0 모두 가능)를 입력하면 \(\operatorname{Si}(x)\) 값이 반환됩니다. Si는 기함수(홀함수)이므로 \(\operatorname{Si}(-x) = -\operatorname{Si}(x)\)가 성립하며, 음수 입력은 양수 결과의 부호만 바뀐 값이 됩니다. x가 커질수록 \(\operatorname{Si}(x)\)는 진동하면서 \(\pi/2 \approx 1.5707963268\)로 수렴합니다.
공식 설명
\(\operatorname{Si}(x)\)는 다음의 매클로린 멱급수로 계산합니다:
$$\operatorname{Si}(x) = x - \frac{x^{3}}{3\cdot 3!} + \frac{x^{5}}{5\cdot 5!} - \frac{x^{7}}{7\cdot 7!} + \cdots$$각 항은 직전 항에 \(-x^{2}/((2n)(2n+1))\)을 곱하고 홀수 거듭제곱을 \((2n+1)\)로 나누어 재귀적으로 생성됩니다. 이렇게 하면 큰 계승(팩토리얼)을 직접 계산하지 않아도 되며, \(|x|\)가 작거나 중간 정도일 때 계산이 안정적으로 유지됩니다.
계산 예시
\(x = 1\)일 때 급수는 $$1 - \frac{1}{18} + \frac{1}{600} - \frac{1}{35280} + \frac{1}{3265920} - \cdots \approx 1 - 0.0555556 + 0.0016667 - 0.0000283 + 0.0000003 \approx 0.9460831$$이 됩니다. 공인된 기준값은 \(\operatorname{Si}(1) = 0.9460830703671830\)입니다.
자주 묻는 질문
\(\operatorname{Si}(0)\)은 얼마인가요? 0부터 0까지의 적분은 0이므로 정확히 0입니다.
최댓값은 얼마인가요? \(\operatorname{Si}(x)\)는 \(x = \pi\) 부근에서 첫 번째이자 가장 큰 극댓값(\(\operatorname{Si}(\pi) \approx 1.8519\))을 가진 뒤, 극한값 \(\pi/2\)를 향해 진동합니다.
음수 x에서도 작동하나요? 네 — Si는 기함수이므로 \(\operatorname{Si}(-2) = -\operatorname{Si}(2) \approx -1.6054\)입니다.
