이 계산기의 기능
이 도구는 사용자가 지정한 x 값 범위에 대해 쌍곡 사인 적분 Shi(x)와 쌍곡 코사인 적분 Chi(x)를 표로 정리하고, 두 곡선을 하나의 그래프에 함께 그려줍니다. 이 두 함수는 삼각 함수의 사인 적분 Si(x), 코사인 적분 Ci(x)에 대응하는 쌍곡 버전으로, 열전도, 신호 해석, 특수 함수의 점근 전개 등에서 등장합니다.
사용 방법
숫자 세 개를 입력합니다. x의 초깃값(첫 번째 행), 연속된 행 사이의 증가량(스텝), 그리고 반복 횟수(생성할 행의 개수)입니다. 표는 \(i = 0\)부터 count\(-1\)까지 \(x_i = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}\) 규칙에 따라 계산됩니다. 예를 들어 초깃값 0, 스텝 0.5, 횟수 3을 입력하면 \(x = 0, 0.5, 1.0\)에서의 값이 행으로 만들어집니다.
공식 설명
정의에 따르면 $$\operatorname{Shi}(x) = \int_0^x \frac{\sinh(t)}{t}\,dt$$ 이고, $$\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln|x| + \int_0^x \frac{\cosh t - 1}{t}\,dt$$ 입니다. 여기서 \(\gamma \approx 0.5772156649\) 는 오일러-마스케로니 상수입니다. 이 계산기는 빠르게 수렴하는 다음의 멱급수를 사용해 값을 평가합니다. $$\operatorname{Shi}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)\,(2k+1)!}$$ 이고 $$\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln x + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)\,(2k)!}$$ 입니다. 각 항은 비율 갱신 방식으로 누적되어 팩토리얼 오버플로를 피하며, 항이 무시할 만큼 작아지면 계산을 멈춥니다.
계산 예시
\(x = 1\)일 때: $$\operatorname{Shi}(1) = 1 + \frac{1}{18} + \frac{1}{600} + \frac{1}{35280} + \cdots \approx 1.0572509.$$ $$\operatorname{Chi}(1) = 0.5772157 + \ln 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{96} + \frac{1}{4320} + \cdots \approx 0.8378695.$$
자주 묻는 질문
Chi(0)이 왜 정의되지 않음으로 표시되나요? Chi(x)에는 \(\ln x\) 항이 들어 있는데, \(x \rightarrow 0\)일 때 이 값이 \(-\infty\)로 발산합니다. 따라서 0에서 Chi는 유한한 값을 가지지 않습니다.
음수 x는 어떻게 되나요? Shi는 기함수이므로 \(\operatorname{Shi}(-x) = -\operatorname{Shi}(x)\)이며 정상적으로 계산됩니다. 반면 Chi(x)는 \(x > 0\)에서만 실숫값을 가지며(\(x < 0\)이면 허수부 \(-i\pi\)가 더해집니다), 따라서 표에서는 \(x \le 0\)일 때 Chi를 정의되지 않음으로 표시합니다.
정확도는 어느 정도인가요? \(|x|\)가 적당한 범위(대략 10 이하)에서는 이 급수가 배정밀도(double) 전체 자릿수까지 정확한 값을 줍니다. 반복은 보통 20~40개 항에서 수렴합니다.
