쌍곡 사인·코사인 적분 계산기

계산 입력

x의 초깃값

x의 증가량(스텝)

반복 횟수(행 수)

결과

Shi(x) at x = 0

0

51 rows computed (Shi and Chi)

x	Shi(x)	Chi(x)
0	0	undefined
0.04	0.040004	-2.64126
0.08	0.080028	-1.946913
0.12	0.120096	-1.539446
0.16	0.160228	-1.248959
0.2	0.200445	-1.022206
0.24	0.240769	-0.835466
0.28	0.281222	-0.676086
0.32	0.321826	-0.536509
0.36	0.362602	-0.41186
0.4	0.403573	-0.298807
0.44	0.44476	-0.194973
0.48	0.486187	-0.098598
0.52	0.527875	-0.008345
0.56	0.569849	0.076829
0.6	0.61213	0.157751
0.64	0.654744	0.235092
0.68	0.697713	0.309403
0.72	0.741061	0.381143
0.76	0.784814	0.450699
0.8	0.828997	0.5184
0.84	0.873633	0.584531
0.88	0.918751	0.649338
0.92	0.964375	0.713038
0.96	1.010532	0.775824
1	1.057251	0.837867
1.04	1.104558	0.89932
1.08	1.152482	0.960322
1.12	1.201052	1.021
1.16	1.250298	1.081471
1.2	1.30025	1.141842
1.24	1.35094	1.202213
1.28	1.402397	1.262679
1.32	1.454657	1.323325
1.36	1.507751	1.384238
1.4	1.561713	1.445494
1.44	1.61658	1.507171
1.48	1.672386	1.569341
1.52	1.729168	1.632075
1.56	1.786965	1.695441
1.6	1.845814	1.759506
1.64	1.905756	1.824336
1.68	1.966833	1.889994
1.72	2.029085	1.956545
1.76	2.092556	2.024052
1.8	2.15729	2.092577
1.84	2.223334	2.162183
1.88	2.290735	2.232932
1.92	2.35954	2.304887
1.96	2.429801	2.378111
2	2.501567	2.452667

이 계산기의 기능

이 도구는 사용자가 지정한 x 값 범위에 대해 쌍곡 사인 적분 Shi(x)와 쌍곡 코사인 적분 Chi(x)를 표로 정리하고, 두 곡선을 하나의 그래프에 함께 그려줍니다. 이 두 함수는 삼각 함수의 사인 적분 Si(x), 코사인 적분 Ci(x)에 대응하는 쌍곡 버전으로, 열전도, 신호 해석, 특수 함수의 점근 전개 등에서 등장합니다.

사용 방법

숫자 세 개를 입력합니다. x의 초깃값(첫 번째 행), 연속된 행 사이의 증가량(스텝), 그리고 반복 횟수(생성할 행의 개수)입니다. 표는 \(i = 0\)부터 count\(-1\)까지 \(x_i = \text{startX} + i \cdot \text{stepX}\) 규칙에 따라 계산됩니다. 예를 들어 초깃값 0, 스텝 0.5, 횟수 3을 입력하면 \(x = 0, 0.5, 1.0\)에서의 값이 행으로 만들어집니다.

공식 설명

정의에 따르면 $$\operatorname{Shi}(x) = \int_0^x \frac{\sinh(t)}{t}\,dt$$ 이고, $$\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln|x| + \int_0^x \frac{\cosh t - 1}{t}\,dt$$ 입니다. 여기서 \(\gamma \approx 0.5772156649\) 는 오일러-마스케로니 상수입니다. 이 계산기는 빠르게 수렴하는 다음의 멱급수를 사용해 값을 평가합니다. $$\operatorname{Shi}(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)\,(2k+1)!}$$ 이고 $$\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln x + \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^{2k}}{(2k)\,(2k)!}$$ 입니다. 각 항은 비율 갱신 방식으로 누적되어 팩토리얼 오버플로를 피하며, 항이 무시할 만큼 작아지면 계산을 멈춥니다.

Shi(x)는 0부터 x까지 sinh(t)/t 아래의 부호 있는 넓이를 누적한다.

쌍곡선 사인 적분 Shi(x)와 쌍곡선 코사인 적분 Chi(x).

계산 예시

\(x = 1\)일 때: $$\operatorname{Shi}(1) = 1 + \frac{1}{18} + \frac{1}{600} + \frac{1}{35280} + \cdots \approx 1.0572509.$$ $$\operatorname{Chi}(1) = 0.5772157 + \ln 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{96} + \frac{1}{4320} + \cdots \approx 0.8378695.$$

자주 묻는 질문

Chi(0)이 왜 정의되지 않음으로 표시되나요? Chi(x)에는 \(\ln x\) 항이 들어 있는데, \(x \rightarrow 0\)일 때 이 값이 \(-\infty\)로 발산합니다. 따라서 0에서 Chi는 유한한 값을 가지지 않습니다.

음수 x는 어떻게 되나요? Shi는 기함수이므로 \(\operatorname{Shi}(-x) = -\operatorname{Shi}(x)\)이며 정상적으로 계산됩니다. 반면 Chi(x)는 \(x > 0\)에서만 실숫값을 가지며(\(x < 0\)이면 허수부 \(-i\pi\)가 더해집니다), 따라서 표에서는 \(x \le 0\)일 때 Chi를 정의되지 않음으로 표시합니다.

정확도는 어느 정도인가요? \(|x|\)가 적당한 범위(대략 10 이하)에서는 이 급수가 배정밀도(double) 전체 자릿수까지 정확한 값을 줍니다. 반복은 보통 20~40개 항에서 수렴합니다.